Kwadratura liczbowa z pochodnymi

19

Większość metod numerycznych kwadratury traktuje całkę jako funkcję czarnej skrzynki. Co jeśli mamy więcej informacji? W szczególności, jaką korzyść, jeśli w ogóle, możemy czerpać ze znajomości pierwszych kilku pochodnych integrandu? Jakie inne informacje mogą być cenne?

W szczególności w przypadku instrumentów pochodnych: szacunki błędów dla podstawowej kwadratury (reguły prostokąt / trapzoid / simpson) są ściśle powiązane. Być może istnieje sposób, aby wstępnie wybrać rozdzielczość próbkowania zamiast polegać na dynamicznej adaptacji?

Interesuje mnie zarówno przypadek jednowymiarowy, jak i wielowymiarowy.

MRocklin
źródło
3
Drobna korekta: prostokąt, trapez i reguła Simpsona to reguły typu Newtona-Cotesa, a nie kwadratury Gaussa.
Pedro

Odpowiedzi:

20

Myślę, że nie jest to dokładnie to, co miałeś na myśli, ale dla kompletności zacznijmy od podstaw. Większość wzorów kwadraturowych, takich jak Newton-Cotes i Gauss, opiera się na idei, że aby w przybliżeniu oszacować całkę funkcji, można przybliżyć funkcję poprzez np. Wielomian, który można następnie dokładnie zintegrować:

abf(x)dxabjcjpj(x)dx=jcjabpj(x)dx.

Newton-Cotes i Gauss są oparte na interpolacji Lagrange'a , co oznacza, że ​​interpolujesz daną funkcję za pomocą jej wartości na zbiorze węzłów (które są rozmieszczone równomiernie dla Newtona-Cotes i wybrane optymalnie w pewnym sensie dla Gaussa). W tym przypadku, c J = f ( x j ) oraz Całki wielomianu węzłowych funkcji bazowych p j są dokładnie wagi kwadratury.xjcj=f(xj)pj

To samo podejście działa z interpolacją Hermite'a , tj. Interpolacją z wykorzystaniem wartości funkcji i jej pochodnych do określonej kolejności na zbiorze węzłów. Tylko w przypadku funkcji i pierwszych wartości pochodnych masz (Jest toimplementacja Matlaba, jeśli chcesz zobaczyć, jak to działa.)

abf(x)dxabjf(xj)pj(x)+f(xj)qj(x)dx=jf(xj)wj+f(xj)w¯j.

Jest to związane z wariantem kwadratury Gaussa zwanym kwadraturą Gaussa-Legendre'a, w której węzły są wybierane właśnie w celu ciężarów ˉ w j (co jest innym wytłumaczeniem faktu, że kwadratura Gaussa z N węzłami jest dokładnie rzędu 2 N - 1 ). Myślę, że przynajmniej częściowo odpowiada to na twoje pytanie w drugim akapicie. Z tego powodu zamiast interpolacji hermitowskiej zwykle stosuje się kwadraturę Gaussa, ponieważ otrzymujesz to samo zamówienie z taką samą liczbą punktów, ale nie potrzebujesz informacji pochodnych.w¯jN2N1

W przypadku kwadratury wielowymiarowej napotykasz problem polegający na tym, że liczba pochodnych (w tym pochodnych mieszanych), którą musisz ocenić, rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem kolejności.

Wracając do pytania: prostym sposobem wykorzystania informacji pochodnych byłoby użycie podziału domeny integracyjnej i zastosowanie oddzielnej kwadratury dla każdego działu. Jeśli wiesz, że pochodne twojej funkcji są duże w jakiejś części domeny, możesz użyć albo mniejszych domen (w efekcie formuły zsumowanej kwadratury), albo wyższego rzędu kwadratur. Jest to związane , odpowiednio, z adaptacją h i p , w metodach elementów skończonych.

Christian Clason
źródło
6

Istnieje wiele „poprawionych” reguł integracji, które odwołują się do pochodnych punktów końcowych. Jednym prostym przykładem jest poprawiona reguła trapezowa. Załóżmy, że chcemy zbliżyć całkę

abf(x)dx.

Niech będzie liczbą całkowitą, a h = ( b - a ) / n . Następnie reguła trapezowanh=(ba)/n

T=h2(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)++2f(a+(n1)h)+f(b))

zapewnia proste przybliżenie całki z błędem rzędu . Jednak „poprawiona” reguła trapezowa:h2

T=Th212(f(b)f(a))

znacznie zwiększa dokładność. Rozważmy na przykład

I=01ex2dx

i wybierz . Dokładna wartość I , z dokładnością do 14 miejsc po przecinku, wynosin=8I

0.74682413281243

A wartości i T TT

0.7458656148457,0.74682363422375

odpowiednio. Błędy są

|IT|=9.5851796673207534×104

i

|IT|=4.9858868145236102×107

wykazując niezwykły wzrost dokładności. Istnieją dalsze poprawki dotyczące wyższych pochodnych lub zaczynające się od innych reguł Newtona-Cotesa lub reguł typu Gaussa.

Alasdair
źródło
5

polynomial×weight functiondokładnie. Zgodnie z oczekiwaniami, aby zastosować tę regułę, oczekuje się, że będzie można teraz ocenić twoją funkcję i wiele jej pochodnych w dowolnych rzeczywistych punktach. Wyszukiwanie w zwykłych miejscach powinno być w stanie wyświetlić jeszcze kilka referencji.

JM
źródło
4

Chociaż ten wątek jest dość stary, pomyślałem, że przydatne może być odniesienie do recenzowanego artykułu w celu uogólnienia niektórych powszechnych reguł kwadraturowych.

Nenad Ujevic, „Uogólnienie zmodyfikowanych reguł Simpsona i granic błędów”, ANZIAM Journal, t. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Pomyślałem, że dobrze byłoby podać dobre odniesienie, które jest ogólnodostępne i zawiera odniesienia do innych artykułów.

Jak zauważył Alasdair powyżej, w tym pochodne punktów końcowych mogą znacznie zwiększyć dokładność. Na przykład Ujevic i Roberts wykazali, że dodanie pierwszych pochodnych do reguły Simpsona zmniejsza błąd do 6-go rzędu w odstępach siatki, podczas gdy jest to 4-ty rząd bez pochodnych. Artykuł Ujevica pokazuje, że można znaleźć jeszcze bardziej ścisłe granice błędów.

N. Ujevic i AJ Roberts, A poprawiona formuła kwadraturowa i zastosowania, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason zasugerował, żebym zamieścił komentarz, który zamieściłem w odpowiedzi, ponieważ uważał, że podane przeze mnie odniesienia są dobre i mogą zostać utracone, jeśli komentarze zostaną w pewnym momencie usunięte).

Lysistrata
źródło
Czy możesz skomentować wyniki przedstawione w artykule?
nicoguaro
Mogę teraz, gdy mam wystarczającą liczbę punktów rep! Pomyślałem, że dobrze byłoby podać dobre odniesienie, które jest ogólnodostępne i zawiera odniesienia do innych artykułów. Jak zauważył Alasdair powyżej, w tym pochodne punktów końcowych mogą znacznie zwiększyć dokładność. Na przykład w odsyłaczu 6 artykułu, do którego się przyłączyłem, Roberts i Ujevic wykazali, że dodanie pierwszych pochodnych do reguły Simpsona zmniejsza błąd do 6-go rzędu w odstępach siatki, podczas gdy jest to 4-ty rząd bez pochodnych. Artykuł Ujevica pokazuje, że można znaleźć jeszcze ściślejsze granice błędów.
Lysistrata
1
@Lysistrata To miła referencja. Czy możesz edytować swoje komentarze w samej odpowiedzi? Komentarze mogą zniknąć i szkoda by je zgubić.
Christian Clason