Obliczenie liczby warunków (nawet przybliżenie jej do współczynnika 2) wydaje się mieć taką samą złożoność jak obliczenie faktoryzacji, chociaż w tym kierunku nie ma żadnych twierdzeń.
Od rzadkiego czynnika Choleskiego R symetrycznej dodatniej określonej macierzy lub z rzadkiej Q R. faktoryzacja (z domniemanym Q) ogólnej macierzy kwadratowej, liczbę warunkową można uzyskać w normie Frobeniusa, obliczając rzadki odwrotny podzbiór (RT.R)- 1, co jest znacznie szybsze niż obliczenie pełnego odwrotności. (Powiązany z tym jest mój artykuł: Hybrydowe normy i granice dla przesadnie określonych układów liniowych, Linear Algebra Appl. 216 (1995), 257-266.
Http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf )
Edycja: Jeśli A = Q R. następnie w odniesieniu do każdego niezmiennie niezmiennego norn,
c o n d( A ) = c o n d( R ) =c o n d(RT.R )---------√.
Aby obliczyć rzadkie faktoryzacje QR, patrz np .
Http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408 .
Aby obliczyć rzadką odwrotność, patrz np. Mój artykuł: Ograniczone oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa kowariancji w rzadkich modelach liniowych, Genetics Selection Evolution 30 (1998), 1-24.
https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/reml.pdf
Koszt jest około 3 razy większy niż koszt faktoryzacji.
Z pewnością łatwo jest użyć rozkładu wartości własnej / wektora własnego macierzy symetrycznej lub SVD macierzy ogólnej do obliczenia liczby warunków, ale nie są to szczególnie szybkie sposoby postępowania.
Istnieją iteracyjne algorytmy, które mogą obliczyć szacunkową liczbę warunków, która jest przydatna do większości celów, bez konieczności wykonywania całej pracy związanej z obliczeniamiZA- 1 . Zobacz na przykład
condest
funkcję w MATLAB.źródło
Dla rzadkich matryc hermitowskichH. , możesz użyć algorytmu Lanczos do obliczenia jego wartości własnych. GdybyH. nie jest pustelnikiem, można obliczyć jego wartości osobliwe, obliczając wartości własne H.T.H. .
Ponieważ największe i najmniejsze wartości własne / wartości osobliwe można znaleźć bardzo szybko (na długo przed zakończeniem tridiagonalizacji), metoda Lanczosa jest szczególnie przydatna do obliczenia liczby warunków.
źródło