Kiedy należy stosować metody niejawne w integracji hiperbolicznych PDE?

16

Metody numeryczne rozwiązywania PDE (lub ODE) dzielą się na dwie szerokie kategorie: metody jawne i niejawne. Metody niejawne pozwalają na większe stabilne kroki czasowe, ale wymagają więcej pracy na krok. W przypadku hiperbolicznych PDE powszechnie uważa się, że metody niejawne zwykle się nie opłaciły, ponieważ użycie kroków czasowych większych niż dozwolone przez warunek CFL prowadzi do bardzo niedokładnych wyników. Jednak w niektórych przypadkach stosowane są metody niejawne. Jak dla danej aplikacji należy wybrać, czy użyć metody jawnej, czy niejawnej?

David Ketcheson
źródło

Odpowiedzi:

17

Najważniejsze pytanie dotyczy tego, które procesy fizyczne (fale lub warunki źródłowe) mają skale czasowe, które chcesz rozwiązać, a które wolisz przeskoczyć. Jeśli nie interesuje Cię najszybsza skala czasu w systemie, równania nazywane są „sztywnymi”. Hiperboliczne prawa zachowania są zwykle zapisywane jako systemy pierwszego rzędu

ut+fa(u)=sol(u,u,...)

ufasolfasol

ZA=[fa/u]

Na przykład, jeśli symulujesz długoterminową ewolucję oceanu, możesz nie być zainteresowany falami grawitacji powierzchniowej (np. Tsunami). Niestety zmiana prędkości fali (spowolnienie jej w celu użycia jawnych metod lub przyspieszenie do modelu „sztywnej pokrywy”, który może korzystać z projekcji) zmienia fizykę poprzez zmianę sposobu propagacji wirów. Wiry w oceanie to efekt, w którym fala grawitacyjna jest prawie zrównoważona konwekcją, ale nie do końca.

Innym przykładem jest ściśliwy Euler, np. Przepływ powietrza przez centrum danych. Prędkość fali akustycznej jest znacznie większa niż konwekcja i tylko ta ostatnia jest ważna dla wymiany ciepła. Jeśli nie interesuje Cię akustyka, możesz zastosować metodę niejawną.

Względna wydajność metody niejawnej zależy od kosztu rozwiązania systemów algebraicznych na każdym etapie / etapie w porównaniu z wielkością kroku, którą można zastosować w przypadku metod jawnych. Skuteczne rozwiązywanie takich układów algebraicznych jest aktywnym tematem badań. (Zadaj kolejne pytanie, a ja odpowiem na nie i znajdziesz tutaj).

Możesz także użyć metod niejawnych, jeśli:

  • twoje równania mają znaczące stany ustalone, które chcesz zbadać bezpośrednio, być może w celu scharakteryzowania stabilności
  • rozwiązujesz problemy odwrotności / asymilacji danych obejmujące długą historię
  • chcesz ominąć bariery w zamówieniach, aby zastosować bardzo wysokie metody integracji czasu zamówienia o określonych właściwościach stabilności
  • używasz metod adaptacyjnych czasoprzestrzennych
  • korzystasz z dyskretyzacji przestrzennej, która już wymaga rozwiązania układu algebraicznego (np. metody ciągłych elementów skończonych ze spójną macierzą masy)
Jed Brown
źródło