Jak zintegrować ekspresję wielomianową z 4-węzłowym elementem 3D?

12

Chcę zintegrować wyrażenie wielomianowe z elementem 4-węzłowym w 3D. Kilka książek na temat MES dotyczy przypadku, w którym integracja jest przeprowadzana na dowolnym płaskim 4-elementowym elemencie. Zwykłą procedurą w tym przypadku jest znalezienie macierzy Jacobiego i użycie jej wyznacznika do zmiany podstawy całkowania na znormalizowaną, w której mam prostsze granice integracji [-1; 1], a technika kwadratury Gaussa-Legendre'a jest łatwa.

Innymi słowy Sf(x,y) dxdy1111f~(e,n) |det(J)|dedn

Ale w przypadku 2D zmieniam płaski dowolny element na płaski, ale dobrze ukształtowany kwadrat 2 na 2.

Element 4-węzłowy 3D w ogóle nie jest płaski, ale przypuszczam, że nadal można go zmapować za pomocą układu współrzędnych 2D, który jest w jakiś sposób związany z kartezjańskim układem współrzędnych. Nie mogę wymyślić, jak wyrazić {x, y, z} w kategoriach {e, n} i jaki byłby rozmiar macierzy Jacobi w tym przypadku (powinna być kwadratowa).

Domeny 2D i 3D

danny_23
źródło

Odpowiedzi:

8

Integrujesz funkcję w dwuwymiarowym rozdzielaczu osadzonym w ; książki w analizie rozmaitości (takie jak dostępna książka Munkresa lub książki Lee o rozmaitościach) są pomocne w omawianiu teorii definiującej ten typ całki.R3

Załóżmy, że jest funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną w kolektorze , który jest twoim 4-węzłowym elementem 3-D.fM

Chcesz obliczyć:

MfdS.

Załóżmy, że to funkcja odwzorowująca na . Następnieφ[1,1]2M

MfdS=[1,1]2f(φ(x,y))(det(DφT(x,y)Dφ(x,y)))1/2dxdy

(Użyłem tego zestawu notatek do odświeżenia pamięci.) Powyżej, jest jakobską macierzą , a to jego transpozycja.DφφDφT

Po napisaniu całki nad , możesz użyć metod numerycznych do jej oceny.[1,1]2

Niektóre komentarze:

  • Jestem prawie pewien, że twój 4-węzłowy element 3-D jest różnorodny. Jeśli tak, funkcja istnieje (z definicji), jest fragmentarycznie ciągła (dla rozmaitości topologicznych) i jest odwracalna. Od Ciebie zależy znalezienie funkcji o tych właściwościach.φ
  • Powyższy argument zakłada, że jest gładkim kolektorem, co implikuje, że istnieje który jest stale różnicowalny. W twoim przypadku element, który opisujesz, może nie być ciągle różnicowalny. Jeśli to prawda, prawdopodobnie nadal możesz podzielić swój kolektor na dwa gładkie kolektory, a następnie powyższy argument nadal obowiązuje. Znów musisz znaleźć spełniające właściwości odwracalności i ciągłej różniczkowalności.Mφφ
Geoff Oxberry
źródło
Wielkie dzięki. Książka, którą czytam, dotyczy tylko przypadku, w którym zastosowano kwadratową matrycę Jacobiego (2 na 2) dla uproszczenia. Wyrażenie powyżej, jeśli dobrze to zrobiłem, umożliwia użycie macierzy Jacobiego o dowolnej wielkości (2 na 3). Niestety wciąż otrzymuję ale to dużo lepiej niż wcześniej. Stworzę kolejny wątek na temat właściwego wyboru funkcji mapowania. Dzięki jeszcze raz. det(DφT(x,y)Dφ(x,y))=0
danny_23,
3
Twoja jakobiańska macierz powinna wynosić 3 na 2, więc powinien być macierzą 2 na 2. DφDφTDφ
Geoff Oxberry
2
Geoff, zgadza się.
Podaję