Jak zintegrować ekspresję wielomianową z 4-węzłowym elementem 3D?

Chcę zintegrować wyrażenie wielomianowe z elementem 4-węzłowym w 3D. Kilka książek na temat MES dotyczy przypadku, w którym integracja jest przeprowadzana na dowolnym płaskim 4-elementowym elemencie. Zwykłą procedurą w tym przypadku jest znalezienie macierzy Jacobiego i użycie jej wyznacznika do zmiany podstawy całkowania na znormalizowaną, w której mam prostsze granice integracji [-1; 1], a technika kwadratury Gaussa-Legendre'a jest łatwa.

Innymi słowy $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Ale w przypadku 2D zmieniam płaski dowolny element na płaski, ale dobrze ukształtowany kwadrat 2 na 2.

Element 4-węzłowy 3D w ogóle nie jest płaski, ale przypuszczam, że nadal można go zmapować za pomocą układu współrzędnych 2D, który jest w jakiś sposób związany z kartezjańskim układem współrzędnych. Nie mogę wymyślić, jak wyrazić {x, y, z} w kategoriach {e, n} i jaki byłby rozmiar macierzy Jacobi w tym przypadku (powinna być kwadratowa).

Domeny 2D i 3D

finite-element quadrature danny_23
źródło

Integrujesz funkcję w dwuwymiarowym rozdzielaczu osadzonym w ; książki w analizie rozmaitości (takie jak dostępna książka Munkresa lub książki Lee o rozmaitościach) są pomocne w omawianiu teorii definiującej ten typ całki. $\mathbb{R}^{3}$

Załóżmy, że jest funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną w kolektorze , który jest twoim 4-węzłowym elementem 3-D. $f$ $\mathcal{M}$

Chcesz obliczyć:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Załóżmy, że to funkcja odwzorowująca na . Następnie $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Użyłem tego zestawu notatek do odświeżenia pamięci.) Powyżej, jest jakobską macierzą , a to jego transpozycja. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Po napisaniu całki nad , możesz użyć metod numerycznych do jej oceny. $[-1,1]^{2}$

Niektóre komentarze:

Jestem prawie pewien, że twój 4-węzłowy element 3-D jest różnorodny. Jeśli tak, funkcja istnieje (z definicji), jest fragmentarycznie ciągła (dla rozmaitości topologicznych) i jest odwracalna. Od Ciebie zależy znalezienie funkcji o tych właściwościach. $\varphi$
Powyższy argument zakłada, że jest gładkim kolektorem, co implikuje, że istnieje który jest stale różnicowalny. W twoim przypadku element, który opisujesz, może nie być ciągle różnicowalny. Jeśli to prawda, prawdopodobnie nadal możesz podzielić swój kolektor na dwa gładkie kolektory, a następnie powyższy argument nadal obowiązuje. Znów musisz znaleźć spełniające właściwości odwracalności i ciągłej różniczkowalności. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

Geoff Oxberry
źródło

Wielkie dzięki. Książka, którą czytam, dotyczy tylko przypadku, w którym zastosowano kwadratową matrycę Jacobiego (2 na 2) dla uproszczenia. Wyrażenie powyżej, jeśli dobrze to zrobiłem, umożliwia użycie macierzy Jacobiego o dowolnej wielkości (2 na 3). Niestety wciąż otrzymuję ale to dużo lepiej niż wcześniej. Stworzę kolejny wątek na temat właściwego wyboru funkcji mapowania. Dzięki jeszcze raz.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

danny_23,

Twoja jakobiańska macierz powinna wynosić 3 na 2, więc powinien być macierzą 2 na 2.

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

Geoff Oxberry

Geoff, zgadza się.

Podaję

Jak zintegrować ekspresję wielomianową z 4-węzłowym elementem 3D?

Odpowiedzi: