Jak wyprowadzić słabe sformułowanie częściowego równania różniczkowego dla metody elementów skończonych?

Wprowadziłem podstawowe wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych, które nie podkreślało wyrafinowanego rozumienia „słabego sformułowania”. Rozumiem, że metodą Galerkina mnożymy obie strony (eliptycznego) PDE przez funkcję testową, a następnie całkujemy (przez części lub przez twierdzenie o dywergencji). Czasami musiałem zintegrować częściami dwa razy, zanim dotarłem do odpowiedniego słabego sformułowania (na podstawie odpowiedzi na końcu książki). Ale kiedy próbuję zastosować tę samą koncepcję do innych PDE (powiedzmy, że wciąż są one niezależne od czasu), nie mogę rozpoznać, kiedy sformułowanie jest odpowiednie do dyskretyzacji. Czy jest jakaś „czerwona flaga”, która może mi powiedzieć, że TEN FORMULARZ można dyskretyzować w liniowy układ równań?

Co więcej, jak wybrać odpowiedni zestaw podstawowych funkcji?

Zadaj sobie następujące pytania:

Po pierwsze, w jaki sposób integracja części wpływa na rozwiązywalność problemu i przestrzeń rozwiązań?

Po drugie, dla jakiej przestrzeni funkcji można zbudować serię podprzestrzeni (funkcje ansatz), które można zaimplementować?

Przyjrzyjmy się problemowi Poissona dla f ∈ L 2 , powiedzmy w [ 0 , 1 ] , przy jednorodnych warunkach brzegowych Dirichleta. Przez całkowanie, lewą i prawą stronę równania można uznać za funkcjonały ograniczone na L 2 , powiedzmy, że dla ϕ ∈ L 2 mamy$u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

i ϕ ↦ ∫ f ϕ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Ponieważ dowolna funkcja w może być aproksymowana w L 2 przez płynne funkcje z kompaktowym wsparciem, oba integralne funkcje są całkowicie znane, jeśli znasz wartości tylko dla wszystkich funkcji testowych. Ale dzięki funkcjom testowym można przeprowadzić integrację częściami i przekształcić lewą stronę w funkcjonalną$L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Przeczytaj to jako: „Biorę funkcję testową , obliczam jej różnicę i całkuję ją z -u 'powyżej [0,1], i zwracam ci wynik.” Ale to funkcjonalna nie jest określony i ograniczony od L 2 , ponieważ nie można brać różniczkę arbitralnej L 2 funkcji. Mogą ogólnie wyglądać bardzo dziwnie.$\phi$$L^2$$L^2$

$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Teraz możesz np. Zastosować lemat Lax-Milgram, tak jak jest to przedstawione w dowolnej książce PDE. Książka z elementem skończonym, która ją również opisuje, tylko z analizą funkcjonalną, to np. Klasyka Ciarleta lub raczej nowa książka Braessa.

Lemat Lax-Milgram daje ludziom z PDE miłe narzędzie do czystej analizy, ale do swoich celów używają również znacznie dziwniejszych narzędzi. Narzędzia te są jednak również istotne w przypadku analiz numerycznych, ponieważ w rzeczywistości można zbudować dyskretyzację dla tych przestrzeni.

$H_0^1$$d=1,2,3,...$

$H_0^1$

W przypadku mieszanych warunków brzegowych naturalna przestrzeń testowa może różnić się od twojej przestrzeni wyszukiwania (w ustawieniu analitycznym), ale nie mam pojęcia, jak to opisać bez odwoływania się do teorii rozkładu, więc zatrzymuję się tutaj. Mam nadzieję, że to jest pomocne.