Czy są jakieś zalety liczbowe w rozwiązywaniu macierzy symetrycznej w porównaniu do macierzy bez symetrii?

Stosuję metodę różnic skończonych do układu 3 równań sprzężonych. Dwa równania nie są sprzężone, jednak trzecie równanie łączy się z dwoma pozostałymi. Zauważyłem, że zmieniając porządek równań, powiedzmy od do że macierz współczynników staje się symetryczna.$(x, y, z)$$(x, z, y)$

Czy jest z tego jakaś korzyść? Na przykład pod względem stabilności lub wydajności / prędkości rozwiązania. Matryce są bardzo rzadkie, jeśli to ważne, niezerowe warunki znajdują się wzdłuż środkowych przekątnych.

Absolutnie!

Po pierwsze, niektóre systemy algebry liniowej są wystarczająco inteligentne, aby przechowywać tylko połowę macierzy, co może zaoszczędzić sporo pamięci. Ale nawet jeśli tak nie jest, różne algorytmy numerycznej algebry liniowej wykorzystają symetrię.

Na przykład, biorąc pod uwagę macierz symetryczną, każdy eigensolver od razu będzie wiedział, że wszystkie wartości własne są wyceniane w rzeczywistości, a metoda rozwiązania może wykorzystać ten fakt.

Typową rzeczą, o której wiele osób pomyśli, są metody podprzestrzeni Kryłowa do rozwiązywania układów równań : Jeśli twój problem jest symetryczny, wiesz, że nie potrzebujesz metod dla problemu niesymetrycznego, takiego jak GMRES, i może dotyczyć czegoś mniej intensywnie korzystający z pamięci, jak MINRES, lub - jeśli twoja macierz jest również dodatnia - CG. Permutation nie ma jednak wpływu na zachowanie zbieżności metod Kryłowa, więc można nawet zastosować metody symetryczne dla swojego systemu.$Ax=b$

Innym przykładem jest na czynniki swojej macierzy się do części niższej trójkątnej i górnej trójkątnej części . Jeśli jest symetryczny, to , i musisz zapisać tylko jeden czynnik ( rozkład Cholesky'ego ).$A=LU$$L$$U$$A$$A=LL^T$