Czy istnieje sposób na uzyskanie odpowiedzi impulsowej układu dyskretnego, po prostu wiedząc, że jest on odpowiedzią na funkcję krokową jednostki dyskretnej?

W ciągłym czasie było to możliwe;

$$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$$

Czy to samo dotyczy dyskretnego systemu czasu, tj.

$$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$$

Czy istnieje sposób na uzyskanie odpowiedzi impulsowej układu dyskretnego, po prostu znając odpowiedź kroku jednostki dyskretnej?

Prostsza wersja odpowiedzi Phonon jest następująca.

Załóżmy, że oznacza odpowiedź systemu na funkcję kroku jednostkowego. Następnie, jak omówiono w tej odpowiedzi , ogólnie jest sumą skalowanych i opóźnionych w czasie kopii odpowiedzi impulsowej, aw tym konkretnym przypadku skalowanie nie jest wymagane; tylko opóźnienia czasowe. Zatem gdzie każdy kolumna po prawej to (nieskalowana i) opóźniona w czasie odpowiedź impulsowa. W ten sposób łatwo możemy uzyskać, że y y [ 0 $y$ $y$

$$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ $$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ bez wzmianki o filtrach, odwróceniach, zwojach, integracji, operatorach i tym podobnych, tylko proste konsekwencje definicji liniowego systemu niezmiennego w czasie.

Tak, to samo dotyczy przypadku systemów dyskretnych. W tym przypadku operacja różnicowania zostaje zastąpiona różnicą pierwszego rzędu. Nie wydaje się, że ma uniwersalny symbol, ale nazwijmy to . Ta operacja jest równoważna filtrowaniu sygnału za pomocą . Nazwijmy ten filtr . Oznaczę przekonanie, że symbol .y [ n ] = x [ n ] - x [ n - 1 ] d [ n ] $D(\cdot)$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$d[n]$$*$

$u[n]$$\delta[n]$$u[n]$$u[n] * d[n] = \delta[n]$

$$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$$

$$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$$

$$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$$

$x[n]$$\left(u[n] * x[n]\right)$

Założenia:

• $h(t)$$s(t)$
• $h[n]$$s[n]$

Intuicyjnie mówiąc, integracja w ciągłej dziedzinie czasu jest równoznaczna z sumowaniem w dyskretnej dziedzinie czasu. Podobnie, pochodna w ciągłej dziedzinie czasu jest równoważna skończonej różnicy w dziedzinie dyskretnej.

$u$$\delta$

• $u(t) = \int \delta(t)$
• $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$$h$

• $s(t) = \int h(t)$
• $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Teraz, jeśli dokładnie przyjrzysz się ostatniemu równaniu:

$$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$$

$h[n]$$s[n]$$s[n-1]$

$$h[n] = s[n] - s[n-1]$$