Filtry analogowe są stabilne, jeśli bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s (rysunek po lewej), a filtry cyfrowe są stabilne, jeśli bieguny znajdują się w okręgu jednostki (rysunek po prawej). Tak więc matematycznie wszystko, co jest potrzebne do konwersji z analogowego na cyfrowy, to mapowanie (konformalne?) Z półprzestrzeni na dysk jednostki i oś na okrąg jednostki . Każda transformacja, która to robi, jest potencjalnym kandydatem na alternatywę dla transformacji dwustronnej.| z | = 1ȷ Ω| z| = 1
Dwa z tych znanych sposobów są impuls sposób niezmienność i dopasowany sposób transformacja z . Koncepcyjnie oba są podobne do próbkowania ciągłego kształtu fali, który znamy. Obie metody oznaczające odwrotną transformatę Laplace'a przez i transformatę Z jako Z , obie metody polegają na obliczeniu odpowiedzi impulsowej filtra analogowego jakoL.- 1Z
a ( t ) = L- 1{ A ( s ) }
a ( t )T.za [ n ]
reza( z) = Z{ a [ n ] }
Istnieją jednak kluczowe różnice między nimi.
Metoda niezmienniczości impulsowej:
W tej metodzie rozszerzasz funkcję przenoszenia analogowego jako ułamki częściowe (nie w dopasowanej transformacie Z, jak wspomniano przez Piotra ) jako
A ( s ) = ∑mdoms - αm
gdzie jest stałą, a są biegunami. Matematycznie każdą funkcję przeniesienia o liczniku mniejszym niż mianownik można wyrazić jako sumę ułamków cząstkowych . Tylko filtry dolnoprzepustowe spełniają to kryterium (górnoprzepustowy i pasmowo-pasmowy mają co najmniej ten sam stopień), a zatem metoda niezmiennika impulsowego nie może być użyta do zaprojektowania innych filtrów.α mdomαm
Powód, dla którego zawodzi, jest również całkiem jasny. Jeśli miałbyś wielomian w liczniku tego samego stopnia, co w mianowniku, będziesz miał wolnostojący stały człon, który po przekształceniu odwrotnym da funkcję delta, której nie można próbkować.
Jeśli wykonasz odwrotne transformaty Laplace'a i do przodu Z, zobaczysz, że bieguny są przekształcane jako co oznacza, że jeśli twój filtr analogowy jest stabilny, filtr cyfrowy również będzie stabilny . W ten sposób zachowuje stabilność filtra.αm→ eαmT.
Dopasowana transformata Z.
W tej metodzie zamiast podziału odpowiedzi impulsowej na ułamki częściowe, wykonujesz prostą transformację zarówno biegunów, jak i zer w podobny sposób (dopasowany) jak i (także zachowanie stabilności), dając α m → e α m Tβm→ eβmT.αm→ eαmT.
A ( s ) = ∏m( s - βm)∏n( s - αn)⟶ ∏m( 1 - z- 1miβmT.)∏n( 1 - z- 1miαnT.)
Możesz łatwo zobaczyć ograniczenia obu tych metod. Niezmiennik impulsowy ma zastosowanie tylko wtedy, gdy twój filtr jest dolnoprzepustowy, a dopasowana metoda transformacji Z ma zastosowanie do filtrów pasmowoprzepustowych i pasmowoprzepustowych (i górnoprzepustowych do częstotliwości Nyquista). Są one również w praktyce ograniczone przez częstotliwość próbkowania (w końcu można przejść tylko do pewnego punktu) i cierpią z powodu efektu aliasingu.
Dwuliniowa transformacja jest zdecydowanie najczęściej stosowaną metodą w praktyce, a powyższe dwie są raczej dla celów akademickich. Jeśli chodzi o konwersję z powrotem na analogową, przepraszam, ale nie wiem i nie mogę wiele pomóc, ponieważ prawie nigdy nie używam filtrów analogowych.
Oto niektóre przykłady:
Dopasowana transformata Z.
Konwersja każdej części częściowego rozszerzenia ułamka odbywa się bezpośrednio przy użyciu:
Reguła Simpsona
Jedną z interpretacji transformacji dwuliniowej jest to, że jest to sposób transformacji z czasu ciągłego na dyskretny poprzez przybliżoną integrację z wykorzystaniem reguły trapezoidalnej .
Bardziej dokładna technika przybliżonej integracji wykorzystuje regułę Simpsona. Jeśli zastosowane jest to przybliżenie, wówczas otrzymane mapowanie jest następujące:
źródło