Czy istnieją alternatywy dla transformacji dwuliniowej?

26

Projektując filtr cyfrowy oparty na filtrze analogowym zwykle używamy transformacji dwuliniowej . W celu przybliżenia dyskretnej funkcji przenoszenia z analogowej (ciągłej) funkcji przenoszenia podstawiamyA ( s )Da(z)A(s)

z=1+sT/21sT/2)

gdzie jest okresem pobierania próbek. Alternatywnie, w celu przybliżenia funkcji ciągłego przenoszenia od dyskretnej funkcji przenoszenia , podstawiamyA a ( s ) D ( z )T.Aa(s)D(z)

s=2)T.z-1z+1

Czy istnieją alternatywne metody wykonywania takich konwersji? Czy są lepsze przybliżenia?

Phonon
źródło

Odpowiedzi:

16

Filtry analogowe są stabilne, jeśli bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s (rysunek po lewej), a filtry cyfrowe są stabilne, jeśli bieguny znajdują się w okręgu jednostki (rysunek po prawej). Tak więc matematycznie wszystko, co jest potrzebne do konwersji z analogowego na cyfrowy, to mapowanie (konformalne?) Z półprzestrzeni na dysk jednostki i oś na okrąg jednostki . Każda transformacja, która to robi, jest potencjalnym kandydatem na alternatywę dla transformacji dwustronnej.| z | = 1ȷΩ|z|=1

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Dwa z tych znanych sposobów są impuls sposób niezmienność i dopasowany sposób transformacja z . Koncepcyjnie oba są podobne do próbkowania ciągłego kształtu fali, który znamy. Obie metody oznaczające odwrotną transformatę Laplace'a przez i transformatę Z jako Z , obie metody polegają na obliczeniu odpowiedzi impulsowej filtra analogowego jakoL.-1Z

za(t)=L.-1{ZA(s)}

za(t)T.za[n]

reza(z)=Z{za[n]}

Istnieją jednak kluczowe różnice między nimi.

Metoda niezmienniczości impulsowej:

W tej metodzie rozszerzasz funkcję przenoszenia analogowego jako ułamki częściowe (nie w dopasowanej transformacie Z, jak wspomniano przez Piotra ) jako

ZA(s)=mdoms-αm

gdzie jest stałą, a są biegunami. Matematycznie każdą funkcję przeniesienia o liczniku mniejszym niż mianownik można wyrazić jako sumę ułamków cząstkowych . Tylko filtry dolnoprzepustowe spełniają to kryterium (górnoprzepustowy i pasmowo-pasmowy mają co najmniej ten sam stopień), a zatem metoda niezmiennika impulsowego nie może być użyta do zaprojektowania innych filtrów.α mdomαm

Powód, dla którego zawodzi, jest również całkiem jasny. Jeśli miałbyś wielomian w liczniku tego samego stopnia, co w mianowniku, będziesz miał wolnostojący stały człon, który po przekształceniu odwrotnym da funkcję delta, której nie można próbkować.

Jeśli wykonasz odwrotne transformaty Laplace'a i do przodu Z, zobaczysz, że bieguny są przekształcane jako co oznacza, że ​​jeśli twój filtr analogowy jest stabilny, filtr cyfrowy również będzie stabilny . W ten sposób zachowuje stabilność filtra.αmmiαmT.

Dopasowana transformata Z.

W tej metodzie zamiast podziału odpowiedzi impulsowej na ułamki częściowe, wykonujesz prostą transformację zarówno biegunów, jak i zer w podobny sposób (dopasowany) jak i (także zachowanie stabilności), dając α me α m TβmmiβmT.αmmiαmT.

ZA(s)=m(s-βm)n(s-αn)m(1-z-1miβmT.)n(1-z-1miαnT.)

Możesz łatwo zobaczyć ograniczenia obu tych metod. Niezmiennik impulsowy ma zastosowanie tylko wtedy, gdy twój filtr jest dolnoprzepustowy, a dopasowana metoda transformacji Z ma zastosowanie do filtrów pasmowoprzepustowych i pasmowoprzepustowych (i górnoprzepustowych do częstotliwości Nyquista). Są one również w praktyce ograniczone przez częstotliwość próbkowania (w końcu można przejść tylko do pewnego punktu) i cierpią z powodu efektu aliasingu.

Dwuliniowa transformacja jest zdecydowanie najczęściej stosowaną metodą w praktyce, a powyższe dwie są raczej dla celów akademickich. Jeśli chodzi o konwersję z powrotem na analogową, przepraszam, ale nie wiem i nie mogę wiele pomóc, ponieważ prawie nigdy nie używam filtrów analogowych.

Lorem Ipsum
źródło
Wow Wow ..... to najlepsze wyjaśnienia, jakie widziałem na ten temat. Dziękuję bardzo za udostępnienie. Piękna praca.
dopasowana transformacja Z jest lepsza dla filtrów Bessela, ponieważ ważną cechą filtrów Bessela jest ich płaskie opóźnienie grupy, a nie ich charakterystyka częstotliwościowa
endolith
9

sz

Oto niektóre przykłady:

Dopasowana transformata Z.

s

Y(s)=za0s+s0+za1s+s1+...

Konwersja każdej części częściowego rozszerzenia ułamka odbywa się bezpośrednio przy użyciu:

s+sn=1-z-1exp(-snT.)

Reguła Simpsona

Jedną z interpretacji transformacji dwuliniowej jest to, że jest to sposób transformacji z czasu ciągłego na dyskretny poprzez przybliżoną integrację z wykorzystaniem reguły trapezoidalnej .

Bardziej dokładna technika przybliżonej integracji wykorzystuje regułę Simpsona. Jeśli zastosowane jest to przybliżenie, wówczas otrzymane mapowanie jest następujące:

s=3)T.z2)-1z2)+4z+1
Peter K.
źródło
1
Reguła Simpsona, zasadniczo kwadratowa interpolacja (gdzie reguła trapezoidalna jest liniowa)?
Peter Mortensen
1
@Peter Mortensen: Tak, prawie!
Peter K.
Czy twoja dopasowana transformacja Z różni się od Lorem Ipsum? Nigdzie indziej nie widzę częściowego rozkładu frakcji.
endolith,
@endolith zobacz link do wikipedii w mojej odpowiedzi. Stamtąd to mam. Answered Odpowiedziałem przed Lorem i nie edytowałem go.
Peter K.