Różnica między dyskretną transformatą Fouriera i dyskretną transformatą Fouriera

Czytałem wiele artykułów na temat DTFT i DFT, ale nie jestem w stanie dostrzec różnicy między nimi, z wyjątkiem kilku widocznych rzeczy, takich jak DTFT idzie do nieskończoności, podczas gdy DFT jest tylko do N-1. Czy ktoś może wyjaśnić różnicę i kiedy tego użyć? Wiki mówi

DFT różni się od dyskretnej transformaty Fouriera (DTFT) tym, że jej sekwencje wejściowe i wyjściowe są skończone; dlatego mówi się, że jest to analiza Fouriera funkcji dyskretnych w dziedzinie skończonej (lub okresowej).

Czy to jedyna różnica?

Edycja: ten artykuł ładnie wyjaśnia różnicę

Dyskretna transformata Fouriera (DTFT) to (konwencjonalna) transformata Fouriera sygnału dyskretnego. Jego wydajność ma ciągłą częstotliwość i jest okresowa. Przykład: znaleźć widmo wersją próbkowanego z ciągły w czasie sygnału x ( t ) DTFT mogą być użyte.$x(kT)$$x(t)$

Dyskretna transformata Fouriera (DFT) może być postrzegana jako próbkowana wersja (w dziedzinie częstotliwości) wyjścia DTFT. Służy do obliczania widma częstotliwości sygnału czasu dyskretnego za pomocą komputera, ponieważ komputery mogą obsłużyć tylko skończoną liczbę wartości. Argumentowałbym przeciwko skończoności wyjścia DFT. Jest to również okresowe i dlatego może być kontynuowane w nieskończoność.

Podsumowując:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Właściwość matematyczny DFT jest to, że zarówno dane wejściowe i wyjściowe są okresowe z długością DFT . Oznacza to, że chociaż wektor wejściowy do DFT jest w praktyce skończony, poprawne jest stwierdzenie, że DFT jest spektrum próbkowanym, jeśli uważa się, że wejście DFT jest okresowe.$N$

w porządku, odpowiem na to argumentem, który mają „przeciwnicy” mojej sztywnej, nazistowskiej pozycji wobec DFT.

po pierwsze, moja sztywna, nazistowska pozycja : DFT i Discrete Fourier Series to jedno i to samo. DFT mapuje jedną sekwencję nieskończoną i okresową, $x[n]$ z okresem $N$ w domenie „czasowej” na inną sekwencję nieskończoną i okresową, $X[k]$ , ponownie z okresem $N$ , w dziedzinie „częstotliwości”. a iDFT odwzorowuje to z powrotem. i są „iniekcyjne”, „odwracalne” lub „jeden do jednego”.

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

to najbardziej fundamentalnie jest DFT. z natury jest to okresowe lub okrągłe zjawisko.

ale zaprzeczający okresowości lubią to mówić o DFT. to prawda, to po prostu nie zmienia żadnego z powyższych.

Załóżmy więc, że masz sekwencję o skończonej długości $x[n]$ o długości $N$ i zamiast okresowo ją rozszerzać (co z natury robi DFT), dołączasz tę sekwencję o skończonej długości z zerami po lewej i prawej stronie. więc

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Teraz, to nie powtarzające nieskończona sekwencja nie mają DTFT:

DTFT:

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ to transformata Z oceniana w okręgu jednostkowym dla nieskończenie wielu rzeczywistych wartości . teraz, jeśli miałbyś próbować ten DTFT w równo rozmieszczonych punktach na okręgu jednostkowym, z jednym punktem w , dostaniesz x [n]z=ejωω X (ejω)Nz=ejω=1$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

dokładnie w ten sposób powiązane są DFT i DTFT. próbkowanie DTFT w jednolitych odstępach czasu w dziedzinie „częstotliwości” powoduje, że w dziedzinie „czasu” pierwotna sekwencja jest powtarzana i przesuwana o wszystkie wielokrotności i dodawana na siebie. to właśnie powoduje jednolite próbkowanie w jednej domenie w drugiej domenie. ale ponieważ uważa się , że ma wartość poza przedziałem , to dodawanie nakładek nic nie robi. okresowo rozszerza niezerową część , naszej oryginalnej sekwencji o skończonej długości, .$\hat{x}[n]$$N$ x [n]00≤n≤N- 1$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

Ponieważ dane wyjściowe DTFT są ciągłe, nie można ich przetwarzać na komputerach. Musimy więc przekonwertować ten ciągły sygnał na dyskretną formę. Jest to nic innego jak DFT jako dalszy postęp w FFT w celu zmniejszenia obliczeń.

Jeśli mam rację, nawet jeśli dane wejściowe DFT są okresowe, chociaż liczba próbek jest skończona, matematyka za nimi traktuje je jako nieskończoną sekwencję, która okresowo rozpoczyna Npróbki po jego zakończeniu. Proszę, popraw mnie jeśli się mylę.

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$