Rozwiązywanie problemu konwolucji sygnału 1D

Mam problem z próbą rozwiązania tego ćwiczenia. Muszę obliczyć splot tego sygnału:

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

gdzie jest funkcją Heavyside$u(t)$

zastosowałem wzór, który mówi, że splot tych dwóch sygnałów jest równy

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

gdzie to transformata Fouriera pierwszego sygnału, a to transformata Fouriera drugiego sygnału$X(f)$$W(f)$

no Transformacja Fouriera wynosi$e^{-kt}u(t)$

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

Muszę sprawić, by drugi sygnał był jak najbardziej równy$\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

więc wykonuję tę operację:

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ to jest równe $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

tak czy nie?

Chociaż zdaję sobie sprawę, że jest to bardzo późna odpowiedź, postaram się jednak odpowiedzieć na to pytanie, ponieważ uważam to za pouczające, a także dlatego, że liczba głosów pozytywnych sugeruje, że pytanie to leży w ogólnym interesie społeczności.

Jak już zasugerowano w pytaniu, zdefiniujmy dwa sygnały i jako $x(t)$$w(t)$

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

Jedną z możliwych interpretacji splotu jest to, że wykładniczo tłumiony sygnał jest filtrowany przez idealny filtr dolnoprzepustowy z odpowiedzią impulsową . W pytaniu słusznie wskazano również, że splot w dziedzinie czasu odpowiada zwielokrotnieniu w dziedzinie częstotliwości. Całkę Fouriera można łatwo obliczyć:$(x*w)(t)$$x(t)$$w(t)$$x(t)$

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

Transformacja Fouriera powinna być znana, ponieważ jest to idealny filtr dolnoprzepustowy. W pytaniu pojawiło się pewne zamieszanie dotyczące definicji funkcji Sinc. Sugeruję po prostu zapamiętać odpowiedź impulsową filtra dolnoprzepustowego wzmocnienia jedności z częstotliwością odcięcia bez korzystania z żadnej z definicji funkcji Sinc: $w(t)$$\omega_0=2\pi f_0$

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

Porównując (1) z definicją , widzimy, że jest po prostu filtrem dolnoprzepustowym wzmocnienia jedności z częstotliwością odcięcia : gdzie użyłem funkcji krokowej w dziedzinie częstotliwości.$w(t)$$w(t)$$\omega_0=\pi/10$

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ $u(\omega)$

Aby znaleźć funkcję czasu można obliczyć odwrotną transformatę Fouriera dla :$y(t)=(x*w)(t)$$Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

Niestety nie ma rozwiązania tej całki w formie zamkniętej przy użyciu funkcji elementarnych. Można to oszacować numerycznie za pomocą całki wykładniczej lub, alternatywnie, całki sinus i cosinus i . Nie sądzę więc, aby celem tego ćwiczenia było obliczenie splotu, ale prawdopodobnie miało ono na celu jakościowy opis tego, co się dzieje (sygnał wykładniczy filtrowany przez idealny filtr dolnoprzepustowy).$\text{Ei}(x)$$\text{Si}(x)$$\text{Ci}(x)$

Pomyślałem jednak, że warto przyjrzeć się sygnałowi , więc oceniłem go liczbowo dla parametrów i . Poniższy rysunek pokazuje wynik: $y(t)$$k=0.05$$\omega_0=\pi/10$

Zielona krzywa to sygnał wejściowy a niebieska krzywa to filtrowany sygnał . Zwróć uwagę na (nie przyczynowe) zmarszczki dla spowodowane przez idealny (nie przyczynowy) filtr dolnoprzepustowy. Jeśli zwiększymy częstotliwość odcięcia filtra dolnoprzepustowego, zniekształcenie sygnału wejściowego powinno być mniejsze. Jest to pokazane na następnym rysunku, gdzie zwiększyłem częstotliwość odcięcia o współczynnik 10, tj. (zamiast ):$x(t)$$y(t)$$y(t)$$t<0$$\omega_0=\pi$$\pi/10$