Tożsamości transformacji Fouriera

9

Znamy poniżej,

(1)fa{x(t)}=X(fa)
(2)fa{x(-t)}=X(-fa)
(3)fa{x(t)}=X(-fa)

Teraz, jeśli jakiś sygnał

(4)x(-t)=x(t)

Czy zatem można bezpiecznie założyć, że:

(5)X(-fa)=X(-fa)

czy zależy to od rodzaju sygnału?

zegar słoneczny
źródło
Czy są jeszcze jakieś szczegóły przed zatwierdzeniem odpowiedzi?
Laurent Duval

Odpowiedzi:

13

Masz rację. Twoje ostatnie równanie jest po prostu wymyślnym sposobem na powiedzenie tegoX(fa) jest naprawdę ceniony.

Ogólnie: jeśli jest prawdziwy w jednej domenie, jest sprzężony symetrycznie w drugiej.

Hilmar
źródło
8

Tak, jeśli eqs. (2) i (3) przytrzymaj dla każdego „rodzaju sygnału” (który robią), a następnie (5) musi zostać wstrzymany.

Wstawiamy (4) do (2) otrzymujemy

fa{x(t)}=X(-fa)
i za pomocą (3)
X(-fa)=X(-fa)

Jeśli zastąpimy fa=-sol dostajemy

X(sol)=X(sol)
co, jak już zauważył Hilmar , oznacza toX(fa)jest wartościowy. Należy tego oczekiwać, ponieważ zgodnie z (4)x(t)wykazuje sprzężoną złożoną symetrię .
Deve
źródło
7

Odpowiedzi @Deve i @Hilmar są technicznie doskonałe. Chciałbym przedstawić dodatkowe informacje i kilka pytań.

Po pierwsze, czy znasz sygnał spełniający tę tożsamość w odwróconym czasie / sprzężoną :

x(-t)=x(t)?

Pierwszym oczywistym pomysłem jest wybór spośród sygnałów rzeczywistych i symetrycznych. Naturalnym w ramach Fouriera jest cosinus .

Teraz stajemy się nieco bardziej skomplikowani (intencja kalamburowa).

Po drugie, co z prawdziwym sinussem ? Jest antysymetryczny. Ale jeśli to pamiętaszja=-ja, funkcja tja.grzechtrównież staje się rozwiązaniem. Zatem przez addytywność funkcja

tmijat

(zwane złożonym wykładniczym lub cisoidalnym ) jest również rozwiązaniem . A jego transformacja Fouriera (jako funkcja uogólniona) jest rzeczywiście rzeczywista (choć jakoś „nieskończona”). Idąc dalej, zrobi to dowolna liniowa kombinacja kisoidów z rzeczywistymi współczynnikami.

Twoje pytanie pokazuje, jak ważna jest dualność Fouriera i jak korzystanie z niej może uprościć niektóre problemy. Jak widać w SYMMETRII DTFT DLA PRAWDZIWYCH SYGNAŁÓW :

Innymi słowy, jeśli sygnał x(n) jest prawdziwe, wówczas jego spektrum to hermitian (`` sprzężony symetryczny '').

Tutaj twój podstawowy sygnał xto Hermitian, a wersja Fouriera jest prawdziwa. Aby to lepiej zrozumieć, po prostu wyobraź sobiet jest zmienną częstotliwości, oraz fajest czas podwójny. Standardowa reprezentacja znajduje się w Cyfrowej analizie sygnałów geofizycznych i właściwości fal / złożonych symetrii .

Złożone właściwości symetrii

Jest również nazywany korkociągiem / spiralą Heysera .

Laurent Duval
źródło