Tożsamości transformacji Fouriera

Znamy poniżej,

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Teraz, jeśli jakiś sygnał

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Czy zatem można bezpiecznie założyć, że:

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

czy zależy to od rodzaju sygnału?

Masz rację. Twoje ostatnie równanie jest po prostu wymyślnym sposobem na powiedzenie tego$X(f)$ jest naprawdę ceniony.

Ogólnie: jeśli jest prawdziwy w jednej domenie, jest sprzężony symetrycznie w drugiej.

Tak, jeśli eqs. (2) i (3) przytrzymaj dla każdego „rodzaju sygnału” (który robią), a następnie (5) musi zostać wstrzymany.

Wstawiamy (4) do (2) otrzymujemy

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ i za pomocą (3) $$X(-f) = X^*(-f)$$

Jeśli zastąpimy $f = - g$ dostajemy

$$X(g) = X^*(g)$$ co, jak już zauważył Hilmar , oznacza to$X(f)$jest wartościowy. Należy tego oczekiwać, ponieważ zgodnie z (4)$x(t)$wykazuje sprzężoną złożoną symetrię .

Odpowiedzi @Deve i @Hilmar są technicznie doskonałe. Chciałbym przedstawić dodatkowe informacje i kilka pytań.

Po pierwsze, czy znasz sygnał spełniający tę tożsamość w odwróconym czasie / sprzężoną :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Pierwszym oczywistym pomysłem jest wybór spośród sygnałów rzeczywistych i symetrycznych. Naturalnym w ramach Fouriera jest cosinus .

Teraz stajemy się nieco bardziej skomplikowani (intencja kalamburowa).

Po drugie, co z prawdziwym sinussem ? Jest antysymetryczny. Ale jeśli to pamiętasz$i^*=-i$, funkcja $t\to i.\sin t$również staje się rozwiązaniem. Zatem przez addytywność funkcja

$$t\to e^{i t}$$

(zwane złożonym wykładniczym lub cisoidalnym ) jest również rozwiązaniem . A jego transformacja Fouriera (jako funkcja uogólniona) jest rzeczywiście rzeczywista (choć jakoś „nieskończona”). Idąc dalej, zrobi to dowolna liniowa kombinacja kisoidów z rzeczywistymi współczynnikami.

Twoje pytanie pokazuje, jak ważna jest dualność Fouriera i jak korzystanie z niej może uprościć niektóre problemy. Jak widać w SYMMETRII DTFT DLA PRAWDZIWYCH SYGNAŁÓW :

Innymi słowy, jeśli sygnał $x(n)$ jest prawdziwe, wówczas jego spektrum to hermitian (`` sprzężony symetryczny '').

Tutaj twój podstawowy sygnał $x$to Hermitian, a wersja Fouriera jest prawdziwa. Aby to lepiej zrozumieć, po prostu wyobraź sobie$t$ jest zmienną częstotliwości, oraz $f$jest czas podwójny. Standardowa reprezentacja znajduje się w Cyfrowej analizie sygnałów geofizycznych i właściwości fal / złożonych symetrii .

Jest również nazywany korkociągiem / spiralą Heysera .