Jaka jest różnica między transformatą falkową Gabora-Morleta a transformacją stałej Q?

Na pierwszy rzut oka, stała transformata Fouriera o stałej Q i złożona transformata falkowa Gabora-Morleta wydają się takie same. Oba są reprezentacjami czasowo-częstotliwościowymi, opartymi na filtrach o stałym Q, okienkowanych sinusoidach itp. Ale może brakuje mi różnicy?

Constant-Q Transform Toolbox for Music Processing mówi:

CQT odnosi się do reprezentacji czasowo-częstotliwościowej, w której przedziały częstotliwości są geometrycznie rozmieszczone, a współczynniki Q (stosunki częstotliwości środkowej do szerokości pasma) wszystkich przedziałów są równe.

Analiza w skali czasu mówi:

Oznacza to, że obliczenie CWT sygnału z wykorzystaniem Morleta falkowe jest taki sam jak przepuszczenie sygnału przez szereg filtrów pasmowych środku w $f = \frac{5/2\pi}{a}$ ze stałą Q wynoszącą.$5/2\pi$

Mówiąc prosto, zarówno transformacja const-Q, jak i transformata falkowa Gabora-Morleta są po prostu ciągłymi transformacjami falkowymi. A dokładniej, ich przybliżenia, ponieważ w rzeczywistych zastosowaniach zawsze pojawią się problemy z dyskretyzacją.

Właściwością przekształceń falkowych jest to, że mają wbudowaną właściwość stałego współczynnika Q lub innymi słowy skalowanie logarytmiczne. Gabor i Morlet to tylko dwie nazwy konkretnej funkcji falkowej (złożone wykładnicze z oknem gaussowskim), która jest najczęściej używana. Transformacja CQ używa tylko innej funkcji bazowej / falki i ma do niej specjalną nazwę, prawdopodobnie z jakiegoś historycznego powodu.

Należy zauważyć, że różne opracowane falki oferują odmienny rozkład sygnałów, które są wykorzystywane do badania. Określone falki są wybierane, aby ujawnić określone cechy sygnału w określony sposób. Podczas obliczania współczynników falkowych wykonuje się korelację wybranej falki z sygnałem zainteresowania; w ten sposób kształt falki określa kształt ujawnionych cech sygnałowych.

Niektóre funkcje falkowe zostały „zaprojektowane” w celu zapewnienia rozkładów, które mogą odnosić się do rozkładów Fouriera (w rzeczywistości bardziej odpowiada krótkoterminowym rozkładom Fouriera wykorzystywanym do wytwarzania spektrogramów sygnałów). Falka Morleta jest dobrym przykładem takiej funkcji falki. Inne falki zostały „zaprojektowane” w celu identyfikacji nieciągłości lub krawędzi sygnałów. Widziałem artykuły, które używają do tego funkcji wevelet Daubechies.

Pomocne może być przeprowadzenie badań w celu sprawdzenia, w jaki sposób każda z wymienionych przez ciebie funkcji falkowych jest wykorzystywana w praktyce. Myślę, że to pozwoli ci lepiej zrozumieć, czym różnią się różne falki.

Stała transformata Q nie jest transformatą falkową. Stała transformata Q jest szczególną odmianą krótkoterminowej transformaty Fouriera, w której przedziały częstotliwości są wykładniczo rozmieszczone zamiast liniowo, jak ma to miejsce w przypadku dyskretnej transformaty Fouriera.

Szczegóły: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform .

Niektóre transformacje falkowe są również uważane za stałe transformaty Q, ponieważ w dyskretnych wersjach transformacji skala falkowej zmienia się wykładniczo (w tym przypadku podstawa wynosi 2). Według następującego artykułu z Uniwersytetu Stanforda ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Kiedy falkę macierzystą można interpretować jako sinusoidę okienkową (taką jak falka Morleta), transformata falkowa może być interpretowana jako transformacja Fouriera o stałej Q.12.5 Przed teorią falek transformaty Fouriera o stałej Q (takie jak uzyskane z klasyczny bank filtrów trzeciej oktawy) nie były łatwe do odwrócenia, ponieważ sygnały podstawowe nie były ortogonalne. Powiązana dyskusja znajduje się w załączniku E.