Jak uzyskać stacjonarny predyktor filtra Kalmana?

W rozdziale dotyczącym filtrów Kalmana moja książka DSP stwierdza, pozornie nieoczekiwanie, że stacjonarny filtr Kalmana dla systemu

{\begin{cases} x (t + 1) & = ZA x (t) + w (t) \\ y (t) & = do x (t) + v (t) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

ma predyktor

\hat{x} (t + 1 | t) = (ZA - ZA \bar{K.} do) \hat{x} (t | t - 1) + ZA \bar{K.} y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

oraz kowariancja wektora stanu stacjonarnego i wzmocnienie Kalmana

\bar{P.} = ZA \bar{P.} {ZA}^{T.} - ZA \bar{P.} {do}^{T.} (do \bar{P.} {do}^{T.} + R)^{- 1} do \bar{P.} {ZA}^{T.} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{K.} = \bar{P.} {do}^{T.} (do \bar{P.} {do}^{T.} + R)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

gdzie i oznaczają odpowiednio kowariancje szumu wejściowego i szumu pomiarowego . $Q$ $R$ $w$ $v$

Nie widzę, jak dojść do tego na podstawie predyktora minimalnej wariancji. Czy ktoś może mi to wytłumaczyć lub wskazać źródło, które wywodzi to wyrażenie? Jest to filtr o minimalnej wariancji czasu wariant, które mogą pochodzić:

\hat{x} (t + 1 | t) = (ZA - K. (t) do) \hat{x} (t | t - 1) + K. (t) y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

P. (t + 1 | t) = ZA (P. (t | t - 1) - P. (t | t - 1) {do}^{T.} (do P. (t | t - 1) {do}^{T.} + R)^{- 1} do P. (t | t - 1)) {ZA}^{T.} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

K. (t) = ZA P. (t | t - 1) {do}^{T.} (do P. (t | t - 1) {do}^{T.} + R)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

Po prostu nie jestem pewien, jak przejść stąd do stacjonarnego filtra powyżej.

Aktualizacja: Widzę, że podstawienie i w filtrze wariantu czasowego powoduje filtr stacjonarny, ale dlaczego pomnożyć przez ? Czy to tylko symptom niefortunnego wyboru notacji, co oznacza, że lub tak naprawdę nie oznacza wzmocnienia Kalmana? $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters Andreas
źródło

Nie, nie można „zobaczyć” predyktora z równań układu. Myślę, że byłoby lepiej, gdybyś przeczytał książkę o filtrach Kalmana zamiast poprosić nas o jej wyciągnięcie (co byłoby po prostu zwrotem czegoś z podręcznika). Optymalne filtrowanie przez Andersona i Moore'a może być dobrym miejscem do rozpoczęcia. Pochodzi z rozdziału 5, jeśli dobrze pamiętam.

Lorem Ipsum,

@yoda: Dzięki. Moje pytanie dotyczyło tego, czy ktoś mógłby wskazać mi lepszy zasób niż podręcznik, który poleca mój kurs, więc to odpowiedź.

Andreas

@yoda: Nawiasem mówiąc, na wypadek, gdybym był niejasny: nie proszę o wyprowadzenie z systemu przestrzeni stanów, ale z minimalnego wariantu filtra Kalmana. Zaktualizowałem pytanie, aby wyjaśnić, że mogę uzyskać niezmienny w czasie filtr Kalmana, ale nie stacjonarny.

Andreas

Z jakiego tekstu otrzymujesz powyższe? Jeśli ktoś ma do niego dostęp, może być przydatny, abyśmy mogli zobaczyć pełny kontekst.

Jason R

Twoje pochodne są poprawne.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

Czy to twoje zamieszanie:

$t|t-1$
Jak może to być „stacjonarne”, skoro twoje pochodzenie pokazuje, że zmienia się czas?

Zły wybór na zapisie w książce części

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$ jest funkcją samą w sobie, pokazuje związek rekurencyjny. Innymi słowy, wykorzystuje swoje poprzednie wartości. Tak więc NIE jest taki sam dla wszystkich chwil - zmienia się przy każdej iteracji.

Niezrozumienie słowa „stacjonarne”.

$P$ $K$ $\bar P$ i $\bar K$ jeszcze raz. Zależą tylko od \

Poprzednie wartości samych siebie
Macierze przejścia $A$ i $C$ które są deterministyczne i w twoim przypadku niezmienne w czasie ( $A$ i $C$ są zawsze takie same)
$Q$ i $R$ które są macierzami kowariancji hałasu. Te 2 macierze opisują statystyki dźwięków i są takie same we wszystkich realizacjach i instancjach czasowych.

Zysk Kalmana, $K$ oraz macierz kowariancji stanu $P$ będzie miał tę samą wartość dla wszystkich realizacji tego losowego procesu. ( Uwaga dodatkowa: Żaden z tych 2 terminów nie zależy od pomiarów, $y$ . Aby mogły zostać obliczone wcześniej. )

Wniosek:

Wyprowadzone równania „wariantu czasowego” były równoważne z tymi w książce. Poza różnicami notacyjnymi z twojej strony było pewne nieporozumienie dotyczące tego, jakie zmiany, a co nie.

ssk08
źródło

Nie pamiętam, jaki miałem problem, kiedy zadałem to pytanie, ale teraz ma to sens. Dzięki!

Andreas,

Nie do końca to rozumiem. Jak wyglądałyby wówczas równania niestacjonarnego filtra Kalmana?

Sandu Ursu,

Jak uzyskać stacjonarny predyktor filtra Kalmana?

Odpowiedzi: