Jakie narzędzia matematyczne istnieją do zrozumienia modulowanego hałasu?

Załóżmy, że mamy sygnał $n$ który składa się z białego szumu Gaussa. Jeśli modulujemy ten sygnał, mnożąc go przez , powstały sygnał nadal ma białe spektrum mocy, ale wyraźnie szum jest teraz „wiązany” w czasie. To jest przykład procesu cyklostacjonarnego .$\sin 2\omega t$

$$x(t) = n(t) \sin2\omega t$$

Załóżmy, że teraz demodulujemy ten sygnał na częstotliwości poprzez mieszanie z lokalnymi oscylatorami sinus i cosinus, tworząc sygnały I i Q:$\omega$

$$I = x(t) \times \sin\omega t$$ $$Q = x(t) \times \cos\omega t$$

Naiwnie obserwując, że widmo mocy (przejęte w przedziale czasowym znacznie większym niż ) jest białe, spodziewalibyśmy się, że I i Q zawierają biały szum Gaussa o tej samej amplitudzie. Jednak tak naprawdę dzieje się tak, że kwadratura I wybiórczo próbkuje części szeregu czasowego x (t) z dużą wariancją, podczas gdy Q , dziewięćdziesiąt stopni poza fazą, próbkuje części z mniejszą wariancją:$x(t)$$1/f$$I$$Q$$I$$x(t)$$Q$

Wynik jest taki, że gęstość widmowa szumu I jest $\sqrt{3}$ razy większa od $Q$ .

Najwyraźniej musi istnieć coś poza spektrum mocy, które jest przydatne w opisywaniu modulowanego hałasu. W literaturze przedmiotu znajduje się wiele dostępnych artykułów opisujących powyższy proces, ale chciałbym dowiedzieć się, w jaki sposób jest ono traktowane bardziej ogólnie przez społeczności przetwarzające sygnały / społeczności EE.

Jakie są użyteczne narzędzia matematyczne do zrozumienia i manipulowania hałasem cyklostacjonarnym? Wszelkie odniesienia do literatury również będą mile widziane.

Bibliografia:

• Niebauer i in., „Niestacjonarny szum strzału i jego wpływ na czułość interferometrów”. Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

Nie jestem pewien, czego konkretnie tu szukasz. Hałas jest zazwyczaj opisywany przez jego gęstość widmową mocy lub równoważnie przez funkcję autokorelacji; funkcja autokorelacji procesu losowego i jego PSD są parą transformacji Fouriera. Na przykład biały szum ma impulsywną autokorelację; przekształca się to w płaskie widmo mocy w dziedzinie Fouriera.

Twój przykład (choć nieco niepraktyczny) jest analogiczny do odbiornika komunikacyjnego, który obserwuje modulowany przez przewoźnika biały szum przy częstotliwości nośnej . Przykładowy odbiornik jest dość szczęśliwy, ponieważ ma swój oscylator, który jest spójny z oscylatorem; nie ma przesunięcia fazowego między sinusoidami generowanymi w modulatorze i demodulatorze, co pozwala na „idealną” konwersję w dół do pasma podstawowego. To samo w sobie nie jest niepraktyczne; istnieje wiele struktur spójnych odbiorników komunikacyjnych. Jednak szum jest zazwyczaj modelowany jako element dodatkowy kanału komunikacyjnego, który jest nieskorelowany z modulowanym sygnałem, który odbiornik stara się odzyskać;$2 \omega$

Jednak w ten sposób spojrzenie na matematykę za twoim przykładem może wyjaśnić twoją obserwację. Aby uzyskać wyniki, które opisujesz (przynajmniej w pierwotnym pytaniu), modulator i demodulator mają oscylatory, które działają z identyczną częstotliwością odniesienia i fazą. Modulator generuje następujące dane:

$$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$$

Odbiornik generuje przekształcone w dół sygnały I i Q w następujący sposób:

$$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$$

Niektóre tożsamości trygonometryczne mogą pomóc rozwinąć i Q ( t ) jeszcze trochę:$I(t)$$Q(t)$

$$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$$

Teraz możemy przepisać przetworzoną w dół parę sygnałów jako:

$$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$$

Szum wejściowy jest równy zeru, więc i Q ( t ) są również zerowe. Oznacza to, że ich wariancje to:$I(t)$$Q(t)$

$$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$$

Zauważyłeś stosunek między wariancjami i Q ( t ) w swoim pytaniu. Można to uprościć:$I(t)$$Q(t)$

$$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$$

Oczekiwania są przejmowane do procesu losowego czas, zmienna t . Ponieważ funkcje są deterministyczne i okresowe, jest to tak naprawdę odpowiednik średniej wartości kwadratowej każdej funkcji sinusoidalnej w jednym okresie; dla pokazanych tutaj wartości otrzymujesz stosunek $n(t)$$t$ , jak zauważyłeś. Fakt, że otrzymujesz więcej mocy szumu w kanale I, jest artefaktem szumu modulowanym w sposób spójny (tj. Fazowy) z własnym sinusoidalnym odniesieniem demodulatora. Na podstawie matematyki leżącej u podstaw tego wyniku można się spodziewać. Jak już wspomniałem wcześniej, tego rodzaju sytuacja nie jest typowa.$\sqrt 3$

Chociaż nie zapytałeś o to bezpośrednio, chciałem zauważyć, że ten rodzaj operacji (modulacja przez sinusoidalną nośną, po której następuje demodulacja identycznej lub prawie identycznej reprodukcji nośnej) jest podstawowym elementem składowym systemów komunikacyjnych. Rzeczywisty odbiornik komunikacyjny zawierałby jednak dodatkowy etap po demodulacji nośnej: filtr dolnoprzepustowy do usuwania komponentów sygnału I i Q przy częstotliwości . Jeśli wyeliminujemy składowe częstotliwości podwójnej nośnej, stosunek energii I do energii Q wygląda następująco:$4 \omega$

$$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$$

Taki jest cel spójnego odbiornika modulacji kwadraturowej: sygnał umieszczony w kanale fazy (I) jest przenoszony do sygnału I odbiornika bez wycieku do sygnału kwadratury (Q).

Edycja: Chciałem skierować twoje komentarze poniżej. W przypadku odbiornika kwadraturowego częstotliwość nośna w większości przypadków znajdowałaby się w środku pasma transmitowanego sygnału, więc zamiast być pasmem ograniczonym do częstotliwości nośnej , typowy sygnał komunikacyjny byłby pasmem pasmowym w przedziale [ ω - $\omega\ $$[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$$B$

$x(t)$$R(t, \tau)$

$$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$$

$$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$$

$$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$$

$n(t)$$\tau$

$$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$$

$x(t)$