Szukam pewnych nierówności prawdopodobieństwa dla sum niezwiązanych zmiennych losowych. Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktokolwiek mógł mi coś przekazać.
Moim problemem jest znalezienie wykładniczej górnej granicy ponad prawdopodobieństwem, że suma niezwiązanych zmiennych losowych iid, które są w rzeczywistości pomnożeniem dwóch iidów Gaussa, przekracza pewną określoną wartość, tj. , w którym , i są generowane IID z .
Próbowałem użyć granicy Chernoffa za pomocą funkcji generowania momentu (MGF), granica pochodna jest dana przez:
gdzie jest MGF z . Ale granica nie jest tak ciasna. Głównym problemem w moim problemie jest to, że zmienne losowe są nieograniczone i niestety nie mogę użyć granicy nierówności Hoeffdinga.
Będę szczęśliwy, jeśli pomożesz mi znaleźć ścisłą wykładniczą granicę.
Odpowiedzi:
Używając granicy Chernoffa, którą zasugerowałeś dla niektórych które zostaną określone później, gdzie zachodzi druga nierówność dzięki dla dowolnego . Teraz weźmy i , prawa strona staje się który daje dla każdego .s≤1/(2σ2)
Inną drogą jest bezpośrednie zastosowanie nierówności koncentracji, takich jak nierówność Hansona-Wrighta lub nierówności koncentracji w przypadku chaosu gaussowskiego rzędu 2, który obejmuje zmienną losową, którą jesteś zainteresowany.
Prostsze podejście bez korzystania z funkcji generowania momentu
Wziąć dla uproszczenia (w przeciwnym razie mogą się przeskalowanie przez podzielenie ).σ=1 σ2
Zapis i . Pytasz o górne granice na .v=(v1,...,vn)T w=(w1,...,wn)T P(vTw>ϵN)
Niech. Wtedy przez niezależność i jest niezależny od z z stopni swobody.Z=wTv/∥v∥ Z∼N(0,1) v,w ∥v∥2 Z χ2 n
Według standardowych granic standardowych zmiennych normalnych i , Połączenie z związkiem daje górną granicę na postaci .χ2 P(|Z|>ϵn/2−−−√)≤2exp(−ϵ2n/4),P(∥v∥>2n−−√)≤exp(−n(2–√−1)2/2). P(vTw>ϵN) 2exp(−ϵ2n/4)+exp(−n(2–√−1)2/2)
źródło
Ograniczenie, które otrzymujesz, jest rzędu jako . Nie sądzę, że możesz zrobić dużo lepiej dla generała . Ze strony Wikipedii dotyczącej Zmiennych produktu dystrybucja wynosi gdzie jest zmodyfikowaną funkcją Bessela. Z (10.25.3) w liście funkcji DLMF , tak, że dla wystarczająco duża który nie da ci granicy sub Gaussa.e−ϵ ϵ→∞ ϵ wivi K0(z)/π K0 K0(t)∼e−t/t√ x P(wivi>x)∼∫∞xe−t/t√dt
źródło