Jak znaleźć gdy jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa?

12

Jak mogę to rozwiązać? Potrzebuję równań pośrednich. Być może odpowiedź brzmi .tf(x)

ddt[txf(x)dx]

f(x) to funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

To znaczy, i \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} F (x) = 1limxf(x)=0limxF(x)=1

źródło: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf str.40

Wypróbuj poniższe równania pośrednie:

ddt[txf(x)dx]=ddt[[xF(x)]ttF(x)dx]??

ddttaf(x)dx=ddtatf(x)dx=ddt(F(t)F(a))=F(t)=f(t)

Hiroaki Machida
źródło
4
Czy masz na myśli ? Być możeA może masz na myśli ? ddt[txf(x) dx]tf(t).ddt[txf(x) dx1F(t)]
Henry
2
Użyj fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego
Henry
2
Rozważ prymitywne z , a następnie jest łatwe do wyprowadzenia. Gxxf(x)txf(x)dx=G()G(t)
Stéphane Laurent,
2
Dodaj self-studytag i przeczytaj jego wiki wiki .
Glen_b
2
Jeśli przygotowujesz się do egzaminu, nie musisz dać pełnego rozwiązania. Pytania do samodzielnej nauki mają na celu nakłonienie osoby zadającej pytanie do samodzielnego rozwiązania problemu.
Xi'an,

Odpowiedzi:

15

Z definicji pochodna ( jeśli istnieje ) jest granicą ilorazu różnicy

1h(t+hxf(x)dxtxf(x)dx)=1htt+hxf(x)dx

jako .h0

Zakładając, że jest ciągłe w przedziale dla wystarczająco małych , będzie również ciągłe w tym przedziale. Następnie Twierdzenie Lagrange'a utrzymuje istnieją pewne pomiędzy i , dla któregof[t,t+h)h>0xfh0h

(t+h)f(t+h)=1htt+hxf(x)dx.

Jako , koniecznie , a ciągłość pobliżu oznacza, że ​​lewa strona ma granicę równą .h0h0fttf(t)

(Miło jest zobaczyć, że ta analiza nie wymaga uzasadnienia na temat istnienia oryginalnej niepoprawnej całki .)txf(x)dx

Jednak nawet jeśli rozkład ma gęstość , gęstość ta nie musi być ciągła. W punktach nieciągłości iloraz różnic będzie miał różne granice lewy i prawy: pochodna tam nie istnieje.f


Nie jest to kwestia, którą można odrzucić jako tajemniczą „patologię” matematyczną, którą praktykujący mogą zignorować. Pliki PDF wielu popularnych i przydatnych dystrybucji mają punkty nieciągłości. Na przykład dystrybucja Uniform ma nieciągły plik PDF w punktach i ; rozkład gamma ma nieciągły plik PDF o wartości gdy (który obejmuje wszechobecny rozkład wykładniczy i niektóre rozkłady ); i tak dalej. Dlatego ważne jest, aby nie twierdzić, bez dokładnych kwalifikacji, że odpowiedź brzmi jedynie : to byłby błąd.(a,b)ab(a,b)0a1χ2tf(t)

Whuber
źródło
Bardzo mały dodatek: Istnieją przypadki, w których całka jest rozróżnialna, nawet jeśli nie jest ciągłe. Niech dla oraz dla oraz dla . Następnie w pobliżu 0, dla i 0 dla , co jest doskonale różnicowalne przy . f(x)f(x)=0x0f(x)=10<x<1f(x)=0x2F(x)=x2/2x0x<0x=0
Alex R.
@Alex Blisko , , a nie 2/2 . Rozważ podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego. 0+F(x)=xx2/2
whuber
Przepraszam za zamieszanie! Definiuję . F(x):=xtf(t)dt
Alex R.
1
@Alex Twój integrand jest ciągły w pobliżu zera, więc nie widzę, jaki przykład prezentujesz lub co pokazuje. tf(t)
whuber
Wielkie wyprowadzenie (+1) - może nie być nic warte, że ten wynik jest przypadkiem reguły integralnej Leibniza .
Ben - Przywróć Monikę
9

Rozwiązany...

ddt[txf(x) dx] =ddt[G()G(t)] =ddt[G()]ddt[G(t)] =0tf(t)

Dziękuję wam wszystkim!!!

Hiroaki Machida
źródło
5
Co to jest funkcja ? Dlaczego pochodna wynosi 0? G(t)G()
Vladislavs Dovgalecs