Dlaczego funkcja skumulowanej dystrybucji (CDF) jednoznacznie definiuje rozkład?

Zawsze mówiono mi, że CDF jest wyjątkowy, jednak PDF / PMF nie jest wyjątkowy, dlaczego? Czy możesz podać przykład, w którym plik PDF / PMF nie jest unikalny?

Przypomnijmy kilka rzeczy. Niech $(\Omega,A,P)$ będzie przestrzeń prawdopodobieństwo , $\Omega$ jest nasz przykładowy zestaw, jest nasz σ -algebra, a P jest funkcją prawdopodobieństwa określona na A . Zmienna losowa jest mierzalna Funkcja X : Ohm → R tj X - 1 ( S ) ∈ dla każdego podzbioru w Lebesgue'a mierzalne R$A$$\sigma$$P$$A$$X:\Omega \to \mathbb{R}$$X^{-1}(S) \in A$$\mathbb{R}$. Jeśli nie znasz tej koncepcji, wszystko, co powiem później, nie będzie miało sensu.

Ilekroć mamy zmienną losową, $X:\Omega \to \mathbb{R}$ , indukuje ona miarę prawdopodobieństwa na przez kategoryczne przesunięcie w przód. Innymi słowy, . Sprawdzenie, czy jest miarą prawdopodobieństwa na jest proste . Nazywamy na dystrybucję z X .R X ′ ( S ) = P ( X - 1 ( S ) ) X ′ R X $X'$$\mathbb{R}$$X'(S) = P(X^{-1}(S))$$X'$$\mathbb{R}$$X'$$X$

Z tą koncepcją wiąże się coś, co nazywa się funkcją rozkładu zmiennej funkcyjnej. Biorąc pod uwagę zmienną losową $X:\Omega \to \mathbb{R}$ definiujemy $F(x) = P(X\leq x)$ . Funkcje dystrybucyjne $F:\mathbb{R} \to [0,1]$ mają następujące właściwości:

1. $F$ jestciągłe w prawo.

2. $F$ nie maleje

3. i F ( - ∞ ) = 0 .$F(\infty) = 1$$F(-\infty)=0$

Wyraźnie losowe zmienne, które są równe, mają ten sam rozkład i funkcję rozkładu.

Odwrócenie procesu i uzyskanie pomiaru za pomocą danej funkcji rozkładu jest dość techniczne. Powiedzmy, że otrzymujesz funkcję dystrybucyjną . Zdefiniuj μ ( a , b ] = F ( b ) - F ( a ) . Musisz pokazać, że μ jest miarą na półalgebrze przedziałów ( a , b ) . Następnie możesz zastosować twierdzenie o rozszerzeniu Carathéodory rozszerzyć μ do miary prawdopodobieństwa na badania .$F(x)$$\mu(a,b] = F(b) - F(a)$$\mu$$(a,b]$$\mu$$\mathbb{R}$

Aby odpowiedzieć na prośbę o przykład dwóch gęstości z tą samą całką (tj. Mieć tę samą funkcję rozkładu), rozważ te funkcje zdefiniowane na liczbach rzeczywistych:

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

i wtedy;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

Nie są w ogóle równe x, ale oba są gęstościami dla tego samego rozkładu, dlatego gęstości nie są jednoznacznie określone przez (skumulowany) rozkład. Kiedy gęstości z rzeczywistą domeną różnią się tylko dla policzalnego zestawu wartości x, wówczas całki będą takie same. Analiza matematyczna tak naprawdę nie jest przeznaczona dla osób o słabych nerwach lub o zdecydowanie konkretnym umyśle.

Nie zgadzam się ze stwierdzeniem: „funkcja rozkładu prawdopodobieństwa nie określa jednoznacznie miary prawdopodobieństwa”, którą wypowiadasz w pytaniu otwierającym. Jedynie to determinuje.

Niech będą dwiema funkcjami masy prawdopodobieństwa. Jeżeli, ∫ E f 1 = ∫ E f 2 Dla dowolnego mierzalnego zestawu E, wówczas f 1 = f 2 prawie wszędzie. To jednoznacznie determinuje pdf (ponieważ w analizie nie obchodzi nas, czy nie zgadzają się co do zestawu miary zero).$f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$

Powyższą całkę możemy przepisać na: Gdzie g = f 1 - f 2 jest funkcją całkowitą.

Zdefiniuj , więc ∫ E g = 0 . Używamy dobrze znanego twierdzenia, że ​​jeśli całka funkcji nieujemnej wynosi zero, to funkcja jest prawie wszędzie zerowa. W szczególności, g = 0 AE na E . Tak f 1 = F 2 ae o E . Teraz powtórz argument w innym kierunku, używając F = { x ∈ R | g ≤ 0 $E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$$\int_E g = 0$$g=0$$E$$f_1 = f_2$$E$$F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$. Będziemy się, że ae na F . Tak więc, F 1 = f 2 i ekspozycję na E ∪ F = R .$f_1 = f_2$$F$$f_1 = f_2$$E\cup F = \mathbb{R}$