Średnia wartość wybranej matrycy z nieskończonej serii rolek

Jeśli rzuciłem parę kostek nieskończoną liczbę razy i zawsze wybieram wyższą z nich, czy oczekiwana średnia z najwyższych wartości przekroczy 3,5?

Wydaje się, że musi tak być, ponieważ gdybym rzucił milion kości i wybrał najwyższą wartość za każdym razem, szanse są ogromne, że szóstki byłyby dostępne w każdym rzucie. Zatem oczekiwany środek musiałby być taki jak 5.999999999999 ...

Nie wydaje mi się jednak, żeby z mojego przykładu wyliczyć oczekiwaną wartość, używając tylko 2 kości. Czy ktoś może mi pomóc pod numerem? Czy ledwie przekroczyłby 3,5? Czy to nawet coś, co można obliczyć?

Eksperyment można również symulować. Takie podejście jest przydatne, gdy wyliczenie jest trudne (jak rzucanie 3 kostkami).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

Do tego nie trzeba używać symulacji, ogólny przypadek jest dość łatwy do analizy. Niech jest liczbą kości i jest rolka maksymalna się podczas walcowania kości.$n$$X$$n$

Wynika z tego, że i ogólnie dla od 1 do 6. Dlatego możemy uzyskać

$$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$$ $$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$$ $k$ $$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

Możemy więc zapisać rozkład prawdopodobieństwa w formie zamkniętej. Robiąc to dla , otrzymujesz oczekiwaną wartość 4,472222.$n = 2$

Sugeruję po prostu przeanalizować tę trywialną sprawę, aby zobaczyć odpowiedź.

Możliwe wyniki z rzutu dwiema kostkami generują macierz 6x6:

$$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

Oczekiwana wartość sumy wynosi 7. Dzieje się tak, ponieważ rolki są identycznymi niezależnymi rysunkami, więc można je sumować. Oczekiwanie na rzucie uczciwą kostką kostną wynosi 3,5.

Ale pytasz o maksymalizację. Wymieńmy teraz maksymalizację z rzutu dwiema kostkami. Znów jest to macierz 6x6:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

Oblicz oczekiwaną wartość, tak: .

$$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$$

Zauważ, że rzucanie kostkami jest (w sensie probabilistycznym) równoważne rzucaniu jedną kostką razy. Więc dla toczenia kości można zobaczyć, jak zmienia się jak matryca i wynikające z niego zmiany oczekiwania, zbyt.n $n$$n$$n$

Zakładając, że każda z 36 kombinacji ma równe prawdopodobieństwo, musimy tylko dodać wartości każdej z 36 kombinacji i podzielić przez 36, aby uzyskać średnią:

1. 1 możliwość: 11
2. 3 możliwości: 12, 21, 22
3. 5 możliwości: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 możliwości: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 możliwości: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 możliwości: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4,47222 ..

Troll Dice Roller jest narzędziem do znalezienia kości prawdopodobieństw. Ma artykuł wyjaśniający wdrożenie, ale jest dość akademicki.

max(2d6) daje

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642