(Z góry przepraszamy za użycie języka świeckiego zamiast języka statystycznego).
Jeśli chcę zmierzyć szanse na rzut każdej strony konkretnej fizycznej sześciościennej kostki do około +/- 2% z rozsądną pewnością, ile próbnych rzutów byłoby potrzebne?
tj. ile razy musiałbym rzucić kostką, licząc każdy wynik, aby mieć 98% pewności, że szanse, że rzuci każdą stroną, wynoszą 14,6% - 18,7%? (Lub niektóre podobne kryteria, w których około 98% byłoby przekonanych, że kość jest sprawiedliwa w granicach 2%)
(Jest to rzeczywista obawa w przypadku gier symulacyjnych wykorzystujących kości i chcących mieć pewność, że pewne projekty kostek są akceptowalnie zbliżone do 1/6 szansy na wyrzucenie każdej liczby. Istnieją twierdzenia, że wiele popularnych projektów kostek zostało zmierzonych, rzucając 29% 1 na rzucając kilkoma takimi kostkami 1000 razy).
źródło
Odpowiedzi:
TL; DR: jeślip = 1/6 i chcesz wiedzieć, jak duże n musi wynosić 98%, to znaczy, że kości są w porządku (do 2%), n musi wynosić co najmniej n ≥ 766 .
Niechn będzie liczbą rzutów, a X liczbą rzutów, które wylądują na określonej stronie. Następnie X następuje po rozkładzie dwumianowym (n, p), gdzie p jest prawdopodobieństwem uzyskania określonej strony.
Po centralnym twierdzeniu o granicy wiemy o tym
PonieważX/n jest średnią próbną n losowych zmiennych Bernoulliego (p) . Stąd dla dużych n przedziały ufności dla p można skonstruować jako
Ponieważp jest nieznany, możemy zastąpić go z próbki średniej p = X / n , i przez różnych twierdzeń konwergencji, wiemy uzyskany przedział ufności będzie asymptotycznie ważny. Otrzymujemy więc przedziały ufności formularzap^=X/n
z p = X / n . Mam zamiar założyć wiesz co Z -Wyniki są. Na przykład, jeśli chcesz mieć 95% przedział ufności, przyjmujesz Z = 1,96 . Tak więc dla danego poziomu ufności α mamyp^=X/n Z Z=1.96 α
Powiedzmy teraz, że chcesz, aby ten przedział ufności był mniejszy niżCα i chcesz wiedzieć, jak duża próbka jest potrzebna do wykonania tego przypadku. Odpowiada to pytaniu, co nα spełnia
Który jest następnie rozwiązany w celu uzyskania
Tak więc podłączyć wartościamiZα , Cα oraz oszacowania P , aby uzyskać oszacowanie n alfa . Zauważ, że ponieważ p nie jest znane, jest to tylko oszacowanie, ale asymptotycznie (gdy n staje się większe), powinno być dokładne.p^ nα p n
źródło