Niech będą próbką iid wykładniczych zmiennych losowych ze średnią , i niech będą statystykami porządkowymi z tej próbki. Niech .
Zdefiniuj odstępyMożna wykazać, że każdy jest również wykładniczy, ze średnią .W i β i = β
Pytanie: Jak bym poszedł o znalezieniu , gdzie jest znane i nieujemne?
Próba: Wiem, że jest to równe . Użyłem więc zasady całkowitego prawdopodobieństwa:
co zamienia się w bałagan, ale myślę, że całka możliwa do przełożenia.
Czy jestem na dobrej drodze? Czy jest to prawidłowe zastosowanie prawa całkowitego prawdopodobieństwa?
Innym podejściem może być spojrzenie na rozkład różnic:
Lub nawet rozbić sumy:
Rozwiązanie przypadku wykładniczego byłoby świetne, ale jeszcze lepsze byłyby jakieś ogólne ograniczenia w rozkładzie. A przynajmniej chwile, które wystarczyłyby, by dać mi nierówności Czebyszewa i Markowa.
Aktualizacja: oto całka z pierwszej metody:
Bawię się nim od jakiegoś czasu i nie jestem pewien, dokąd z tym pójść.
źródło
Odpowiedzi:
Trudność, którą tu masz, polega na tym, że masz zdarzenie związane z niezależnymi zmiennymi losowymi. Problem można uprościć i rozwiązać, manipulując zdarzeniem, aby porównać niezależne przyrosty. Aby to zrobić, najpierw zauważamy, że dla każdą statystykę zamówienia można zapisać jako:X1,...,XN∼IID Exp(β)
gdzie (patrz np. Renyi 1953, David i Nagaraja 2003). To pozwala nam pisać i możemy zapisać średnią próbną jako:Z1,Z2,...,Zn∼IID Exp(1) Wk=βZk+1/(n−k)
Aby ułatwić naszą analizę, określamy ilość:
Dla mamy wówczas:a>0
gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi. W trywialnym przypadku, w którym mamy . W przypadku nietrywialnym, w którym mamy , a prawdopodobieństwo zainteresowania wynosi:Z∼Exp(1) G∼Ga(n−1,1) t⩾n/(n−k) P(Wk⩾tX¯)=0 t<n/(n−k) a>0
Ta odpowiedź jest intuicyjnie uzasadniona. Prawdopodobieństwo to ściśle maleje , z prawdopodobieństwem jednostkowym, gdy i zerowym prawdopodobieństwem, gdy .t = 0 t = nt t=0 t=nn−k
źródło