Jaki jest rozkład proporcji odstępu i próbki?

10

Niech będą próbką iid wykładniczych zmiennych losowych ze średnią , i niech będą statystykami porządkowymi z tej próbki. Niech .X1,,XnβX(1),,X(n)X¯=1ni=1nXi

Zdefiniuj odstępyMożna wykazać, że każdy jest również wykładniczy, ze średnią .W i β i = β

Wi=X(i+1)X(i)  1in1.
Wiβi=βni

Pytanie: Jak bym poszedł o znalezieniu , gdzie jest znane i nieujemne?P(WiX¯>t)t

Próba: Wiem, że jest to równe . Użyłem więc zasady całkowitego prawdopodobieństwa: 1FWi(tX¯)

P(Wi>tX¯)=1FWi(tX¯)=10FWi(ts)fX¯(s)ds,

co zamienia się w bałagan, ale myślę, że całka możliwa do przełożenia.

Czy jestem na dobrej drodze? Czy jest to prawidłowe zastosowanie prawa całkowitego prawdopodobieństwa?

Innym podejściem może być spojrzenie na rozkład różnic:

P(WitX¯>0)

Lub nawet rozbić sumy:

P(WitX¯>0)=P((X(i+1)X(i))+tn(X(1)++X(n)))

Rozwiązanie przypadku wykładniczego byłoby świetne, ale jeszcze lepsze byłyby jakieś ogólne ograniczenia w rozkładzie. A przynajmniej chwile, które wystarczyłyby, by dać mi nierówności Czebyszewa i Markowa.


Aktualizacja: oto całka z pierwszej metody:

10(1exp(tsβi))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds10(1exp((ni)tsβ))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds

Bawię się nim od jakiegoś czasu i nie jestem pewien, dokąd z tym pójść.

Shadowtalker
źródło
1
Całka, którą otrzymasz, wydaje się stosunkowo prosta po rozpowszechnieniu nawiasów. Po zmianie zmiennych wygląda na to, że dostaniesz kilka funkcji gamma.
Alex R.
@AlexR rzeczywiście tak jest, ale po przejściu do połowy zacząłem podejrzewać, że nie będzie on ograniczony między 0 a 1. Bardziej szukam potwierdzenia, że ​​poprawnie skonfigurowałem problem. Jeśli utknę z samą całką, zapytam na Math.SE
shadowtalker

Odpowiedzi:

6

Trudność, którą tu masz, polega na tym, że masz zdarzenie związane z niezależnymi zmiennymi losowymi. Problem można uprościć i rozwiązać, manipulując zdarzeniem, aby porównać niezależne przyrosty. Aby to zrobić, najpierw zauważamy, że dla każdą statystykę zamówienia można zapisać jako:X1,...,XNIID Exp(β)

X(k)=βi=1kZini+1,

gdzie (patrz np. Renyi 1953, David i Nagaraja 2003). To pozwala nam pisać i możemy zapisać średnią próbną jako:Z1,Z2,...,ZnIID Exp(1)Wk=βZk+1/(nk)

X¯βnk=1nX(k)=βnk=1ni=1kZini+1=βni=1nk=inZini+1=βni=1nZi.

Aby ułatwić naszą analizę, określamy ilość:

at(nk)nt(nk).

Dla mamy wówczas:a>0

P(WktX¯)=P(Zk+1nktni=1nZi)=P(nnkZk+1ti=1kZi)=P((nnkt)Zk+1tikZi)=P((nnkt)ZtG)=P(ZaG),

gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi. W trywialnym przypadku, w którym mamy . W przypadku nietrywialnym, w którym mamy , a prawdopodobieństwo zainteresowania wynosi:ZExp(1)GGa(n1,1)tn/(nk)P(WktX¯)=0t<n/(nk)a>0

P(WktX¯)=0Ga(g|n1,1)agExp(z|1)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)agexp(z)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)(1exp(ag))dg=01Γ(n1)gn2exp(g)dg01Γ(n1)gn2exp((a+1)g)dg=1(a+1)(n1)=1(1nknt)n1.

Ta odpowiedź jest intuicyjnie uzasadniona. Prawdopodobieństwo to ściśle maleje , z prawdopodobieństwem jednostkowym, gdy i zerowym prawdopodobieństwem, gdy .t = 0 t = ntt=0t=nnk

Ben - Przywróć Monikę
źródło