Dynamiczny widok centralnego twierdzenia o granicy?

(Pierwotnie opublikowane na MSE.)

Widziałem wiele heurystycznych dyskusji na temat klasycznego centralnego twierdzenia granicznego mówiących o rozkładzie normalnym (lub dowolnym rozkładzie stabilnym) jako „atraktorze” w przestrzeni gęstości prawdopodobieństwa. Weźmy na przykład następujące zdania na początku traktowania Wikipedii :

W bardziej ogólnym zastosowaniu, centralnym twierdzeniem granicznym jest dowolny zestaw twierdzeń o słabej zbieżności w teorii prawdopodobieństwa. Wszystkie wyrażają fakt, że suma wielu niezależnych i identycznie rozmieszczonych (iid) zmiennych losowych, lub alternatywnie, zmiennych losowych o określonych typach zależności, będzie zwykle rozkładana zgodnie z jednym z małego zestawu rozkładów atraktora . Kiedy wariancja zmiennych iid jest skończona, rozkład atraktora jest rozkładem normalnym.

Ten dynamiczny język systemów jest bardzo sugestywny. Feller mówi także o „przyciąganiu” w swoim traktowaniu CLT w drugim tomie (zastanawiam się, czy to jest źródło tego języka), a Yuval Flimus w tej notatce mówi nawet o „basenie przyciągania”. (Nie sądzę, żeby naprawdę miał na myśli „dokładną formę basenu przyciągania można wcześniej wydedukować”, ale raczej „dokładną formę atraktora można wcześniej wydedukować”; jednak język istnieje.) Moje pytanie brzmi: czy mogą one precyzyjne analogie dynamiczne?Nie znam książki, w której się znajdują - choć wiele książek podkreśla, że ​​rozkład normalny jest szczególny ze względu na stabilność podczas splotu (a także stabilność podczas transformacji Fouriera). To w zasadzie mówi nam, że normalna jest ważna, ponieważ jest stałym punktem. CLT idzie dalej, mówiąc nam, że nie jest to tylko punkt stały, ale atraktor.

Aby uczynić ten obraz geometryczny bardziej precyzyjnym, wyobrażam sobie, że przestrzeń fazowa będzie odpowiednią przestrzenią funkcji nieskończenie wymiarowej (przestrzeń gęstości prawdopodobieństwa), a operator ewolucji będzie powtarzanym splotem z warunkiem początkowym. Ale nie mam pojęcia o technicznych szczegółach związanych z wykonaniem tego obrazu ani o tym, czy warto go kontynuować.

Sądzę, że skoro nie mogę znaleźć leczenia, które byłoby zgodne z tym podejściem, musi być coś złego w moim odczuciu, że można to zrobić lub że byłoby to interesujące. W takim przypadku chciałbym usłyszeć dlaczego.

EDYCJA : Istnieją trzy podobne pytania w Math Stack Exchange i MathOverflow, którymi mogą zainteresować się czytelnicy:

• Rozkłady Gaussa jako punkty stałe w części przestrzeni dystrybucyjnej (MO)
• Centralne twierdzenie graniczne za pomocą maksymalnej entropii (MO)
• Czy istnieje dowód na centralne twierdzenie graniczne za pomocą jakiegoś twierdzenia o stałym punkcie? (MSE)

Po dogłębnej analizie literatury, zachęcony odpowiedzią Kjetila, znalazłem kilka odniesień, które poważnie podchodzą do geometrycznego / dynamicznego podejścia do CLT, oprócz książki Y. Sinai. Publikuję to, co znalazłem, dla innych osób, które mogą być zainteresowane, ale mam nadzieję, że jeszcze usłyszę od eksperta o wartości tego punktu widzenia.

Wydaje się, że największy wpływ wywarł twórczość Charlesa Steina. Ale najbardziej bezpośrednia odpowiedź na moje pytanie wydaje się pochodzić od Hamedani i Waltera, którzy umieścili metrykę w przestrzeni funkcji dystrybucji i pokazują, że splot generuje skurcz, który daje rozkład normalny jako unikalny punkt stały.

• M. Anshelevich, Linearyzacja operatora centralnego limitu w teorii prawdopodobieństwa swobodnego , arXiv: matematyka / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein i Q. Shao, Normal Approximation by Stein's Method , Springer, 2011.
• JA Goldstein, Teoretyczne dowody półgrupowe centralnego twierdzenia granicznego i inne twierdzenia analityczne , Semigroup Forum 12 (1976), no. 3, 189–206.
• GG Hamedani i GG Walter, Twierdzenie o punkcie stałym i jego zastosowanie do centralnego twierdzenia o granicy , Arch. Matematyka (Basel) 43 (1984), no. 3, 258–264.
• S. Swaminathan, Teoretyczne dowody teoretyczne na centralne twierdzenie graniczne, w teorii punktów stałych i zastosowaniach (Marsylia, 1989), Pitman Res. Notes Math. Ser., Vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, ss. 391–396. Cytowany w Karl Stromberg, Prawdopodobieństwo dla analityków, strona 114 .

DODANO 19 października 2018 r.

Innym źródłem tego punktu widzenia jest Oliver Knill prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne z aplikacjami , str. 11 (podkreślenie dodane):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Działa to również w innych sytuacjach. Na przykład dla zmiennych losowych o wartościach kołowych rozkład równomierny maksymalizuje entropię. Nic więc dziwnego, że istnieje centralne twierdzenie graniczne dla zmiennych losowych o wartościach kołowych z rozkładem jednorodnym jako rozkładem granicznym.

Tekst „Teoria prawdopodobieństwa - kurs wprowadzający” autorstwa Y Sinai (Springer) omawia CLT w ten sposób.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Chodzi o to (z pamięci ...), że

1) Rozkład normalny maksymalizuje entropię (między rozkładami o stałej wariancji) 2) Operator uśredniania $A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$utrzymuje wariancję i zwiększa entropię ... a reszta to technika. Otrzymujesz więc dynamiczne ustawienie iteracji operatora.