Załóżmy, są IID z i niech oznaczają odpowiednio „th najmniejszy element z . Jak można przekroczyć górną granicę oczekiwanego maksimum stosunku między dwoma kolejnymi elementami w ? To znaczy, jak obliczyć górną granicę dla:
Literatura, którą udało mi się znaleźć, skupia się głównie na stosunku między dwiema zmiennymi losowymi, co daje rozkład współczynników, dla którego podano pdf dla dwóch nieskorelowanych rozkładów normalnych tutaj: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Chociaż pozwoliłoby mi to przekroczyć oczekiwany średni stosunek zmiennych, nie widzę, jak uogólnić to pojęcie, aby znaleźć oczekiwany maksymalny stosunek zmiennych.
Odpowiedzi:
Oczekiwanie jest niezdefiniowane.
Niech być IID według dowolnego rozkładu F z następujących własności: istnieje liczbę dodatnią h i dodatni ε taki sposób, żeXi F h ϵ
dla wszystkich . Ta właściwość jest prawdziwa dla każdego rozkładu ciągłego, takiego jak rozkład normalny, którego gęstość f jest ciągła i niezerowa przy 0 , dla tego czasu F ( x ) - F ( 0 ) = f ( 0 ) x + o ( x ) , co pozwala nam weź za h dowolną stałą wartość między 0 a f ( 0 ) .0<x<ϵ f 0 F(x)−F(0)=f(0)x+o(x) h 0 f(0)
Aby uprościć analizę, założę również i 1 - F ( 1 ) > 0 , z których oba są prawdziwe dla wszystkich rozkładów normalnych. (To ostatnie można zapewnić, jeśli to konieczne, przeskalowując F. Ten pierwszy służy jedynie do zwykłego niedoszacowania prawdopodobieństwa.)F(0)>0 1−F(1)>0 F
Niech i przeceńmy funkcję przeżycia stosunku jakot>1
Ten ostatni prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwo, że dokładnie z X j przekraczać 1 , dokładnie jeden leży w przedziale ( 0 , 1 / t ] , a pozostałe i - 1 , (jeśli występuje) nonpositive chodzi o F że szansę daje wielomianowe wyrażenien−i Xj 1 (0,1/t] i - 1 fa
Gdy , nierówność ( 1 ) zapewnia dolną granicę, która jest proporcjonalna do 1 / t , pokazując, żet > 1 / ϵ (1) 1/t
Z definicji oczekiwanie dowolnej zmiennej losowej jest oczekiwaniem jej dodatniej części plus oczekiwanie jej ujemnej części - max ( - X , 0 ) . Ponieważ dodatnia część oczekiwania - jeśli istnieje - jest całką funkcji przeżycia (od 0 do ∞ ) imax(X,0) −max(−X,0) 0 ∞
dodatnia część oczekiwania na rozbieżna.X(i+1)/X(i)
źródło