Co to znaczy powiedzieć, że wydarzenie „wydarzy się w końcu”?

Rozważmy jednowymiarowy losowy spacer po liczbach całkowitych $\mathbb{Z}$ o stanie początkowym $x\in\mathbb{Z}$ :

$$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$$

gdzie przyrosty $\xi_i$ są IID takie, że $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ .

Można udowodnić, że (1)

$$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$$

gdzie indeks dolny oznacza pozycję początkową.

Niech będzie czasem pierwszego przejścia do podania + 1 . Innymi słowy, τ : = τ ( 1 ) : = min { n ≥ 0 : S n = 1 } . Można również udowodnić, że (2)$\tau$$+1$$\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

$$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$$

Oba dowody można znaleźć w http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Czytając artykuł, rozumiem oba dowody.

Moje pytanie dotyczy jednak znaczenia słowa „ostatecznie” w pierwszym stwierdzeniu, a także w ogóle. Jeśli coś stanie się „w końcu”, nie musi to nastąpić w ograniczonym czasie, prawda? Jeśli tak, to jaka naprawdę jest różnica między czymś, co się nie wydarza, a czymś, co się nie dzieje „w końcu”? Stwierdzenia (1) i (2) w pewnym sensie są mi sprzeczne. Czy istnieją inne takie przykłady?

---

EDYTOWAĆ

Po prostu chcę dodać motywację do pytania, tj. Prosty przykład czegoś, co dzieje się „w końcu”, ale ze skończonym oczekiwanym czasem oczekiwania.

$$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$$

Dlatego wiemy, że Walker będzie „w końcu” ruch w lewo, a oczekiwany czas oczekiwania przed tym zakresie (tj ruchu w lewo) jest .$1/(1/2)=2$

Widzenie czegoś, co dzieje się „w końcu”, ale z nieskończonym oczekiwaniem „czasu oczekiwania”, było dość trudne dla mojej wyobraźni. Druga połowa odpowiedzi @ whuber jest kolejnym doskonałym przykładem.

Jak pokazałbyś wydarzenie „w końcu się wydarzy”? Przeprowadziłbyś eksperyment myślowy z hipotetycznym przeciwnikiem. Twój przeciwnik może cię wyzwać dowolną liczbą dodatnią . Jeśli potrafisz znaleźć n (która najprawdopodobniej zależy od p ), dla którego szansa zdarzenia wydarzy się w czasie $p$$n$$p$$n$ wynosi co najmniej , wygrywasz.$1-p$

W tym przykładzie „ ” jest wprowadzającą w błąd notacją, ponieważ używasz go zarówno w odniesieniu do jednego stanu losowego marszu, jak i do całego samego losowego marszu. Uważajmy na rozróżnienie. „ Ostatecznie osiąga 1 ” ma oznaczać podzbiór S zbioru wszystkich losowych spacerów Ω . Każdy spacer S ∈ Ω ma nieskończenie wiele kroków. Wartość S w czasie n wynosi S n . „ S osiąga 1 do czasu n ” odnosi się do podzestawu Ω spacerów, które osiągnęły stan $S_n$$1$$\mathcal{S}$$\Omega$$S\in\Omega$$S$$n$$S_n$$S$$1$$n$$\Omega$$1$do czasu . Rygorystycznie jest to zestaw$n$

$$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$$

W odpowiedzi na wyimaginowanego przeciwnika wykazujesz trochę o tej właściwości$\Omega_{1,n}$

$$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$$

Bo jest arbitralne, masz dostępne wszystkie elementy zestawu$n$

$$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$$

(Przypomnij sobie, że wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony n, dla którego S ∈ Ω 1 , n , więc nie ma żadnych nieskończonych liczb w tym związku.)$S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$$S \in \Omega_{1,n}$

Twoja zdolność do wygrania gry pokazuje, że prawdopodobieństwo tego związku jest większe niż wszystkie wartości postaci , bez względu na to, jak małe może być p > 0 . W związku z tym prawdopodobieństwo to wynosi co najmniej $1-p$$p\gt 0$$1$ a zatem wynosi . Udowodnisz to$1$

$$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$$

---

Jednym prostym sposobem na docenienie różnicy między „wydarzeniem w końcu” a posiadaniem nieskończonego oczekiwanego czasu pierwszego przejścia jest rozważenie prostszej sytuacji. Dla dowolnej liczby naturalnej niech ω ( n ) będzie sekwencją$n$$\omega^{(n)}$

$$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$$

w których zer następuje po nieskończonym ciągu jedności. Innymi słowy, są to spacery, które pozostają u źródła i w pewnym (skończonym) czasie przechodzą do punktu 1 , a następnie pozostają tam na zawsze.$n$$1$

Niech będzie zbiorem wszystkich tych ω ( n ) , n = 0 , 1 , 2 , … z dyskretną algebrą sigma. Przypisz miarę prawdopodobieństwa za pomocą$\Omega$$\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

$$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$

Zostało to zaprojektowane, aby szansa na skok do do czasu n równa się 1 - 1 / ( n + 1 ) , co oczywiście zbliża się arbitralnie do 1 . Wygrasz grę. Skok w końcu się zdarzy, a kiedy to nastąpi, nastąpi w pewnym skończonym czasie. Jednak oczekiwany czas, w którym to nastąpi, jest sumą funkcji przeżycia (która daje szanse, że nie skoczy w tym czasie$1$ $n$$1-1/(n+1)$$1$ ),$n$

$$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$$

który się rozbiera. Wynika to z faktu, że istnieje stosunkowo duże prawdopodobieństwo, że trzeba długo czekać na skok.

To, że coś się w końcu dzieje, oznacza, że ​​w pewnym momencie to się dzieje, ale istnieje konotacja, że ​​nie odnosi się to do żadnego określonego określonego czasu, przed którym to nastąpi. Jeśli powiesz, że coś wydarzy się w ciągu trzech tygodni, jest to mocniejsze stwierdzenie niż to, że stanie się to w końcu. To, że tak się stanie, ostatecznie nie określa czasu, takiego jak „trzy tygodnie” lub „trzydzieści miliardów lat” lub „jedna minuta”.