Zmienne losowe, dla których nierówności Markowa i Czebyszewa są ścisłe

9

Interesuje mnie konstruowanie zmiennych losowych, dla których nierówności Markowa lub Czebyszewa są ścisłe.

Trywialnym przykładem jest następująca zmienna losowa.

P(X=1)=P(X=1)=0.5 . Jego średnia wynosi zero, wariancja wynosi 1, a . W tym przypadku zmienna losowa Czebyszewa jest ścisła (trzyma się na równi).P(|X|1)=1

P(|X|1)Var(X)12=1

Czy są bardziej interesujące (nierównomierne) zmienne losowe, dla których Markov i Czebyshev są ścisłe? Niektóre przykłady byłyby świetne.

SPV
źródło

Odpowiedzi:

5

Klasa rozkładów, dla których ogranicza się przypadek związany z Czebyszewem, jest dobrze znana (i wcale nie jest tak trudna do odgadnięcia). Jest znormalizowany pod względem lokalizacji i skali

Z={-k,z prawdopodobieństwem 12)k2)0,z prawdopodobieństwem 1-1k2)k,z prawdopodobieństwem 12)k2)

Jest to (w skali) rozwiązanie podane na stronie Wikipedii dotyczące nierówności Czebyszewa .

[Możesz napisać sekwencję rozkładów (umieszczając więcej prawdopodobieństwa w środku z tym samym równomiernie usuniętym z punktów końcowych), które ściśle spełniają nierówność i podchodzą do tego ograniczającego przypadku tak dokładnie, jak chcesz.]ϵ>0

Inne rozwiązanie może być uzyskane poprzez położenie i skali zmian tego niech .X=μ+σZ

Dla nierówności Markowa niechwięc masz prawdopodobieństwo przy 0 i przy . (Można tu wprowadzić parametr skali, ale nie parametr lokalizacji)Y=|Z|1-1/k2)1/k2)k

Sprawy ograniczające Czebyszewa i Markowa

Nierówności chwilowe - a nawet wiele innych podobnych nierówności - mają tendencję do dyskretnych rozkładów jako ograniczających przypadków.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
2

Uważam, że uzyskanie ciągłego rozkładu na całej rzeczywistej osi, która dokładnie odpowiada granicy Czeczeszewa, może być niemożliwe.

Załóżmy, że średnia i odchylenie standardowe rozkładu ciągłego wynoszą 0 i 1, lub uczyń to poprzez przeskalowanie. Następnie wymagaj . Dla uproszczenia rozważ ; wartości ujemne zostaną określone symetrycznie. Zatem CDF rozkładu wynosi . I tak pdf, pochodna cdf, to . Oczywiście należy to zdefiniować tylko dla powodu nieciągłości. W rzeczywistości nie może to być prawdą wszędzie, lub całka pdf nie jest skończona. Zamiast tego, aby uniknąć nieciągłości (np. Pdf cat ma po prostu 0 dla ), pdf musi być podzielony na części, równy dlaP.(X∣>x)=1/x2)x>01-1/x2)2)/x3)x>0x∣ <αx3)x∣≥α .

Jednak rozkład ten nie spełnia hipotezy - nie ma skończonej wariancji. Aby uzyskać ciągły rozkład na osi rzeczywistej ze skończoną wariancją, oczekiwane wartości i muszą być skończone. Badając odwrotne wielomiany, ogony, które idą jak prowadzą do skończonego , ale niezdefiniowanego ponieważ wiąże się to z całką o asymptotycznie logarytmicznym zachowaniu.xx2)x-3)mi[x]mi[x2)]

Tak więc granica Czebycheva nie może być dokładnie zaspokojona. Możesz jednak wymagać dla arbitralnie małych . Ogon pliku pdf ma postać i ma określoną wariancję rzędu .P.(X∣>x)=x-(2)+ϵ)ϵx-(3)+ϵ)1/ϵ

Jeśli chcesz pozwolić, aby dystrybucja żyła tylko na części rzeczywistej linii, ale nadal była ciągła, to zdefiniuj dla działa dla i lub dowolne ich skalowanie liniowe - ale jest to w zasadzie , co nie jest dużym zakresem. I wątpliwe jest, czy to ograniczenie jest nadal zgodne z pierwotną motywacją.prefa(x)=2)/x3)ϵ<∣x∣ <Λ

ϵ=2)(1-1mi)
Λ=ϵ=2)(mi-1)
0,887<|x|<1,39
jwimberley
źródło
Nie sądzę, że trudno jest udowodnić, że żadna zmienna ciągła o nieskończonym wsparciu nie może osiągnąć dolnej granicy
MichaelChirico
@MichaelChirico Też tak nie uważam; Po prostu nie chciałem przejść przez ten wysiłek.
jwimberley,