Rozważ losową zmienną gamma . Istnieją zgrabne wzory na średnią, wariancję i skośność:
Rozważmy teraz zmienną losową przekształconą logarytmicznie . Wikipedia podaje wzory na średnią i wariancję:
poprzez funkcje digamma i trigamma, które są zdefiniowane jako pierwsza i druga pochodna logarytmu funkcji gamma.
Jaka jest formuła skosu?
Czy pojawi się funkcja tetragammy?
(Zastanawiałem się nad tym, to wybór między rozkładem logarytmicznym a rozkładem gamma, zobacz Rozkład gamma vs. rozkład logarytmiczny . Między innymi różnią się właściwościami skośności. W szczególności skośność logarytmu logarytmicznego jest trywialnie równa zeru. skośność log gamma jest ujemna. Ale jak ujemna? ..)
gamma-distribution
skewness
logarithm
ameba mówi Przywróć Monikę
źródło
źródło
Odpowiedzi:
W tym przypadku pomocna jest funkcja generująca momentM.( t ) dla Y= lnX , ponieważ ma ona prostą formę algebraiczną. Według definicji mgf mamy
Sprawdźmy oczekiwanie i wariancję, którą podałeś. Biorąc pochodne, mamy iM″(t)=Γ″(α+t)
Aby znaleźć skośność, zwróć uwagę, że funkcja generowania skumulowanego (dzięki @probabilityislogic dla końcówki) to Pierwszym kumulantem jest zatem po prostu K ' ( 0 ) = ψ ( 0 ) ( α ) + ln ( θ ) . Odwołaj to
Na marginesie, ten szczególny rozkład wydawał się być dokładnie zbadany przez AC Olshen w jego Transformacjach rozkładu Pearsona typu III , Continuous Univariate Distribution Johnsona i wsp. Również ma mały kawałek na ten temat. Sprawdź to.
źródło
I. Obliczenia bezpośrednie
Szczegóły dotyczące wyprowadzania wzorów w 4.358 znajdują się w [2]. Zacytuję podane tam formuły, ponieważ są one nieco bardziej zwięźle podane i umieszczę 4.352.1 w tej samej formie.
whereζ(z,q)=∑∞n=01(n+q)z is the Hurwitz zeta function (the Riemann zeta function is the special case q=1 ).
Now on to the moments of the log of a gamma random variable.
Noting firstly that on the log scale the scale or rate parameter of the gamma density is merely a shift-parameter, so it has no impact on the central moments; we may take whichever one we're using to be 1.
IfX∼Gamma(α,1) then
We can setμ=1 in the above integral formulas, which gives us raw moments; we have E(Y) , E(Y2) , E(Y3) , E(Y4) .
Since we have eliminatedμ from the above, without fear of confusion we're now free to re-use μk to represent the k -th central moment in the usual fashion. We may then obtain the central moments from the raw moments via the usual formulas.
Then we can obtain the skewness and kurtosis asμ3μ3/22 and μ4μ22 .
A note on terminology
It looks like Wolfram's reference pages write the moments of this distribution (they call it ExpGamma distribution) in terms of the polygamma function.
By contrast, Chan (see below) calls this the log-gamma distribution.
II. Chan's formulas via MGF
Chan (1993) [3] gives the mgf as the very neatΓ(α+t)/Γ(α) .
(A very nice derivation for this is given in Francis' answer, using the simple fact that the mgf oflog(X) is just E(Xt) .)
Consequently the moments have fairly simple forms. Chan gives:
and the central moments as
and so the skewness isψ′′(α)/(ψ′(α)3/2) and kurtosis is ψ′′′(α)/(ψ′(α)2) . Presumably the earlier formulas I have above should simplify to these.
Conveniently, R offers digamma (ψ ) and trigamma (ψ′ ) functions as well as the more general polygamma function where you select the order of the derivative. (A number of other programs offer similarly convenient functions.)
Consequently we can compute the skewness and kurtosis quite directly in R:
Trying a few values ofα in the above), we reproduce the first few rows of the table at the end of Sec 2.2 in Chan [3], except that the kurtosis values in that table are supposed to be excess kurtosis, but I just calculated kurtosis by the formulas given above by Chan; these should differ by 3.
a
((E.g. for the log of an exponential, the table says the excess kurtosis is 2.4, but the formula forβ2 is ψ′′′(1)/ψ′(1)2 ... and that is 2.4.)
Simulation confirms that as we increase sample size, the kurtosis of a log of an exponential is converging to around 5.4 not 2.4. It appears that the thesis possibly has an error.
Consequently, Chan's formulas for central moments appear to actually be the formulas for the cumulants (see the derivation in Francis' answer). This would then mean that the skewness formula was correct as is; because the second and third cumulants are equal to the second and third central moments.
Nevertheless these are particularly convenient formulas as long as we keep in mind that
kurt.eg
is giving excess kurtosis.References
[1] Gradshteyn, I.S. & Ryzhik I.M. (2007), Table of Integrals, Series, and Products, 7th ed.
Academic Press, Inc.
[2] Victor H. Moll (2007)
The integrals in Gradshteyn and Ryzhik, Part 4: The gamma function
SCIENTIA Series A: Mathematical Sciences, Vol. 15, 37–46
Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile
http://129.81.170.14/~vhm/FORM-PROOFS_html/final4.pdf
[3] Chan, P.S. (1993),
A statistical study of log-gamma distribution,
McMaster University (Ph.D. thesis)
https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/6816/1/fulltext.pdf
źródło