Zgodnie z artykułem Wikipedii na temat dystrybucji gamma :
Jeśli i , gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi, to .Y ∼ G a m m a ( b , θ ) X Y X + Y ∼ G a m m a ( a + b , θ )
Ale nie widzę żadnego dowodu. Czy ktoś może wskazać mi jego dowód?
Edycja: Bardzo dziękuję Zenowi, a także znalazłem odpowiedź jako przykład na stronie Wikipedii o charakterystycznych funkcjach .
probability
pdf
gamma-distribution
Dexter12
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Dowód jest następujący: (1) Pamiętaj, że funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem ich indywidualnych funkcji charakterystycznych; (2) Pobiera charakterystyczną funkcję gamma zmiennej losowej tutaj ; (3) Wykonaj prostą algebrę.
Aby uzyskać intuicję wykraczającą poza ten argument algebraiczny, sprawdź komentarz Whubera.
Uwaga: OP zapytał, jak obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej gamma. Jeśli , to ( w tym przypadku możesz traktować jako zwykłą stałą)iX∼Exp(λ) i
Teraz użyj wskazówki Hubera: jeśli , to , gdzie są niezależne . Dlatego za pomocą właściwości (1) mamy Y = X 1 + ⋯ + X k X i E x p ( λ = 1 / θ ) ψ Y ( t ) = ( 1Y∼ G a m m a ( k , θ ) Y= X1+ ⋯ + Xk Xja E x p (λ=1 / θ)
Wskazówka: nie nauczysz się tych rzeczy, patrząc na wyniki i dowody: pozostań głodny, oblicz wszystko, spróbuj znaleźć własne dowody. Nawet jeśli zawiedziesz, twoje uznanie dla odpowiedzi kogoś innego będzie na znacznie wyższym poziomie. I tak, porażka jest OK: nikt nie patrzy! Jedynym sposobem na naukę matematyki jest walka na pięści o każdą koncepcję i wynik.
źródło
Oto odpowiedź, która nie musi używać charakterystycznych funkcji, ale zamiast tego wzmacnia niektóre pomysły, które mają inne zastosowania w statystyce. Gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych jest zwojami gęstości. Biorąc dla ułatwienia ekspozycji, mamy dla , z > 0 f X + Y ( z )θ=1 z>0
źródło
Na bardziej heurystyczny poziomie: Jeśli i są liczbami całkowitymi, rozkład gamma jest dystrybucja Erlang, a więc i opisać czas oczekiwania na odpowiednio i występujące w procesie Poissona z szybkością . Oba czasy oczekiwania i sąb X Y aa b X Y a θ X Yb θ X Y
a czas oczekiwania na rozkłada się w gamma ( ).a + b , θa+b a+b,θ
Nic z tego nie jest matematycznym dowodem, ale nakłada pewne ciało na kości połączenia i można go użyć, jeśli chcesz go wcielić w matematyczny dowód.
źródło