Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych gamma

13

Zgodnie z artykułem Wikipedii na temat dystrybucji gamma :

Jeśli i , gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi, to .Y G a m m a ( b , θ ) X Y X + Y G a m m a ( a + b , θ )XGamma(a,θ)YGamma(b,θ)XYX+YGamma(a+b,θ)

Ale nie widzę żadnego dowodu. Czy ktoś może wskazać mi jego dowód?

Edycja: Bardzo dziękuję Zenowi, a także znalazłem odpowiedź jako przykład na stronie Wikipedii o charakterystycznych funkcjach .

Dexter12
źródło
3
Intuicja: Rozkłady gamma powstają jako sumy niezależnych rozkładów wykładniczych, stąd w tym kontekście jest natychmiastowe, że będzie miał rozkład Gamma pod warunkiem, oba i są dodatnimi liczbami całkowitymi. n X + Y ( a + b , θ ) a b(n)nX+Y(a+b,θ)ab
whuber

Odpowiedzi:

15

Dowód jest następujący: (1) Pamiętaj, że funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem ich indywidualnych funkcji charakterystycznych; (2) Pobiera charakterystyczną funkcję gamma zmiennej losowej tutaj ; (3) Wykonaj prostą algebrę.

Aby uzyskać intuicję wykraczającą poza ten argument algebraiczny, sprawdź komentarz Whubera.

Uwaga: OP zapytał, jak obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej gamma. Jeśli , to ( w tym przypadku możesz traktować jako zwykłą stałą)iXExp(λ)i

ψX(t)=E[eitX]=0eitxλeλxdx=11it/λ.

Teraz użyj wskazówki Hubera: jeśli , to , gdzie są niezależne . Dlatego za pomocą właściwości (1) mamy Y = X 1 + + X k X i E x p ( λ = 1 / θ ) ψ Y ( t ) = ( 1YGamma(k,θ)Y=X1++XkXiExp(λ=1/θ)

ψY(t)=(11itθ)k.

Wskazówka: nie nauczysz się tych rzeczy, patrząc na wyniki i dowody: pozostań głodny, oblicz wszystko, spróbuj znaleźć własne dowody. Nawet jeśli zawiedziesz, twoje uznanie dla odpowiedzi kogoś innego będzie na znacznie wyższym poziomie. I tak, porażka jest OK: nikt nie patrzy! Jedynym sposobem na naukę matematyki jest walka na pięści o każdą koncepcję i wynik.

Zen
źródło
Przywołane oświadczenie wyraźnie stwierdza „pod warunkiem, że wszystkie Xi są niezależne”.
whuber
Nie rozumiem jednak, w jaki sposób osiągnęliśmy charakterystyczne funkcje?
Dexter12
Dodam to do odpowiedzi. Spójrz.
Zen.
Być może można zawierać odniesienie do funkcji charakterystycznej o dla niecałkowitą wartości ? aΓ(a,θ)a
Dilip Sarwate,
14

Oto odpowiedź, która nie musi używać charakterystycznych funkcji, ale zamiast tego wzmacnia niektóre pomysły, które mają inne zastosowania w statystyce. Gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych jest zwojami gęstości. Biorąc dla ułatwienia ekspozycji, mamy dla , z > 0 f X + Y ( z )θ=1z>0

fX+Y(z)=0zfX(x)fY(zx)dx=0zxa1exΓ(a)(zx)b1e(zx)Γ(b)dx=ez0zxa1(zx)b1Γ(a)Γ(b)dxnow substitute x=zt and think=ezza+b101ta1(1t)b1Γ(a)Γ(b)dtof Beta(a,b) random variables=ezza+b1Γ(a+b)
Dilip Sarwate
źródło
3
(+1) Idealnie jest mieć więcej niż jeden sposób na udowodnienie wszystkiego. Może ktoś opublikuje odpowiedź dotyczącą transformacji . (X,Y)(U,V)=(X+Y,X)
Zen
Czy podobnie możemy znaleźć gęstość w wyrażeniu w formie zamkniętej? W tym przypadku nie jestem w stanie uprościć całek. XY
pikachuchameleon
@pikachuchameleon Zobacz moją odpowiedź .
Dilip Sarwate
3

Na bardziej heurystyczny poziomie: Jeśli i są liczbami całkowitymi, rozkład gamma jest dystrybucja Erlang, a więc i opisać czas oczekiwania na odpowiednio i występujące w procesie Poissona z szybkością . Oba czasy oczekiwania i sąb X Y aabXYaθ X YbθXY

  1. niezależny
  2. zsumuj czas oczekiwania na wystąpieniaa+b

a czas oczekiwania na rozkłada się w gamma ( ).a + b , θa+ba+b,θ

Nic z tego nie jest matematycznym dowodem, ale nakłada pewne ciało na kości połączenia i można go użyć, jeśli chcesz go wcielić w matematyczny dowód.

Svein Olav Nyberg
źródło