Przykład CLT, gdy momenty nie istnieją

9

RozważXn={1wp (1-2)-n)/2)-1wp (1-2)-n)/2)2)kwp 2)-k dla k>n

Muszę pokazać, że chociaż ma to nieskończone momenty,

n(X¯n)reN.(0,1)

Próbowałem to pokazać za pomocą twierdzenia Levy'ego o ciągłości, tzn. Próbowałem wykazać, że funkcja charakterystyczna lewej strony jest zbieżna z funkcją charakterystyczną normalnej normy. Wydawało się to jednak niemożliwe.

Wskazówką dotyczącą tego problemu było obcięcie każdego , tzn. i użycie warunku Lindeberga, aby pokazać, że .XjaYnja=Xjaja{Xjan}nY¯nreN.(0,1)

Nie byłem jednak w stanie wykazać, że warunek Lapunowa jest spełniony. Wynika to głównie z tego, że nie zachowuje się tak, jakbym tego chciał. Chciałbym, aby przyjmował tylko wartości -1 i 1, jednak sposób, w jaki jest skonstruowany, może przyjmować wartościYnjaYnja-1,1,2)ja+1,2)ja+2),,2)log2)n

Greenparker
źródło
1
Jeśli obcinasz w punkcie , sprawdź dokładnie ostatni akapit pod kątem wartości, jakie może przyjąć zmienna obcięta. W każdym razie spróbuj skrócić na zamiast tego, użyj Borel-Cantelli, a następnie Slutsky, aby uzyskać wynik. Powinieneś być w stanie użyć Lindeberga lub Lyapunova na obciętym kawałku (chociaż tak naprawdę tego nie sprawdziłem). n1
kardynał
Przepraszam za to. Zmieniłem go na „nieskończone” momenty
Greenparker
@cardinal Przejrzałem możliwe wartości, które może przyjąć ponownie, i dodałem minimalny termin do logu. W przeciwnym razie wartości wydają się prawidłowe. Jeśli obetnę wartość 1, otrzymam wartości dla i będę mógł zastosować warunek Lindeberga, aby uzyskać zbieżność do normy. Nie rozumiem jednak, w jaki sposób będzie to oznaczało konwergencję do normalnej dlaYnjaYnjanX¯n
Greenparker
2
Co jest "X¯n„? Nie opisałeś kontekstu, w którym istnieją próbki lub wiele wystąpień każdego z nich Xn, skąd - biorąc pod uwagę to, co jest zawarte w pytaniu - o jedynym możliwym czytaniu tego zapisu, że odnosi się on do średniejXn, która jest zawsze nieskończona i jest liczbą, a nie rozkładem. Dlatego musimy sobie wyobrazić, że zastanawiasz się nad próbkamiXn, ale musisz nam to powiedzieć, a zwłaszcza określić rozmiary próbek.
whuber

Odpowiedzi:

4

Oto odpowiedź na podstawie komentarza @ kardynała:

Niech przestrzeń próbki będzie przestrzenią ścieżek procesów stochastycznych (Xja)ja=0 i (Yja)ja=0, gdzie pozwalamy Yja=Xja1{Xja1}. Warunek Lindeberga (zgodny z notacją Wikipedii ) jest spełniony, ponieważ:

1sn2)ja=0nmi(Yja2)1{|Yja|>ϵsn2)})1sn2)ja=0nP.(|Yja|>ϵsn2))0,
dla każdego ϵ tak jak sn2) kiedy tylko n.

My też to mamy P.(XjaYja,ja.o.)=0 autor: Borel-Cantelli od P.(XjaYja)=2)-ja po to aby ja=0P.(XjaYja)=2)<. Inaczej mówiąc,Xja i Yja różnią się tylko skończenie często prawie na pewno.

Definiować S.X,n=ja=0nXja i równoważnie dla S.Y,n. Wybierz przykładową ścieżkę(Xja)ja=1 takie, że Xja>1 tylko dla skończonych wielu ja. Indeksuj te warunki wedługjot. Wymagaj również z tej ścieżki, abyXjot,jotjotsą skończone. Dla takiej ścieżki

S.jotn0, tak jak n
gdzie S.jot: =jotjotXjot. Co więcej, wystarczająco dużyn,
S.X,n-S.Y,n=S.jot.

Zastosowanie wyniku Borela-Cantellego wraz z tym, że Xjajest prawie na pewno skończony, widzimy, że prawdopodobieństwo ścieżki próbki spełniającej nasze wymagania jest jedno. Innymi słowy, różne terminy prawie na pewno idą do zera. Mamy zatem, według twierdzenia Słuckiego, wystarczająco dużen,

1nS.X,n=S.Y,n+S.jotnreξ+0,
gdzie ξN.(0,1).
ekvall
źródło