Problem z rowem jest następujący:
Instancja: Niekierowany wykres z wierzchołkami i do n \ wybierz 2 krawędzie.n
Pytanie: Czy w G istnieje (właściwy) cykl K ?
Tło: Dla każdego ustalonego możemy rozwiązać cykl w czasie .
Nie wiadomo jednak, czy uda nam się rozwiązać 3-cyklowy (tj. 3-klikowy) w czasie krótszym niż mnożenie macierzy.
Moje pytanie: Zakładając, że nie zawiera 4 cykli, czy możemy rozwiązać problem 3 cykli w czasie ?
David zaproponował podejście do rozwiązania tego wariantu problemu 3-cyklowego w czasie .
Odpowiedzi:
Tak, to jest znane. Pojawia się w jednym z cytowanych referencji dotyczących znalezienia trójkąta ...
Mianowicie Itai i Rodeh pokazują w SICOMP 1978, jak znaleźć w czasie cykl na wykresie, który ma co najmniej jedną krawędź większą niż cykl długości minimalnej. (Zobacz pierwsze trzy zdania streszczenia tutaj: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) Jest to prosta procedura oparta na właściwościach szerokości pierwszego Szukaj.O ( n2))
Zatem jeśli twój wykres jest wolny od 4 cykli i jest trójkąt, jego algorytm musi go wyprowadzić, ponieważ nie może wygenerować 5 lub więcej cykli.
źródło
Nie jest kwadratowy, ale Alon Yuster i Zwick („Znajdowanie i zliczanie podanych cykli długości”, Algorytmica 1997) podają algorytm znajdowania trójkątów w czasie , gdzie jest wykładnikiem szybkiego mnożenia macierzy. Do 4 stopnia wolnych wykresach podłączając i (w przeciwnym razie istnieje -cycle niezależnie od istnienia -cycles) daje czas .ω ω < 2,373 m = O ( n 3 / 2 ) 4 3 O ( n 3 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( n 2.111 )O ( m2 ω / ( ω + 1 )) ω ω < 2,373 m = O ( n3 / 2) 4 3) O ( n3 ω / ( ω + 1 )) = O ( n2.111)
źródło