Czy funkcja liczenia pierwszych # P jest kompletna?

Recall liczba liczb pierwszych jest funkcją zliczania liczb pierwszych . Przez „PRIMES in P”, computing jest w #P. Czy problem # P jest kompletny? A może istnieje złożony powód, by sądzić, że ten problem nie jest # P-całkowity? $\pi(n)$ $\le n$ $\pi(n)$

PS Zdaję sobie sprawę, że jest to trochę naiwne, ponieważ ktoś musiał przestudiować problem i udowodnić / obalić / przypuszczać to, ale nie mogę znaleźć odpowiedzi w literaturze. Sprawdź tutaj, jeśli jesteś ciekawy, dlaczego mnie to obchodzi.

cc.complexity-theory counting-complexity nt.number-theory comp-number-theory primes Igor Pak
źródło

@MohsenGhorbani: Nie, nie te same problemy. Nawet nie podobny.

Igor Pak

Brak dowodów przeciwko, po prostu ciekawy: czy znamy jedną funkcję która jest # P-complete, która naprawdę traktuje n jako liczbę? Oznacza to, że zawsze możemy spojrzeć na binarną reprezentację n i potraktować ten ciąg binarny jako formułę SAT lub wykres, ale chcę tego uniknąć.

f (n)

$f(n)$

Joshua Grochow

@JoshuaGrochow „Naturalne” (nie NT) trudne problemy, które znam z jednym parametrem, są w # EXP-c. Przykład takiego problemu: liczba przechyleń kwadratu ze stałym zestawem płytek (tj. Płytek nie ma na wejściu). THM: istnieje ul problem ten jest # EXP-C.

n \times n

$n \times n$

T

$T$

T

$T$

Igor Pak

@Joshua Jest to dość związane z kompletnością NP , na którą, jak się wydaje, nie mamy jeszcze jednoznacznej odpowiedzi: cstheory.stackexchange.com/questions/14124/…

f (n)

$f(n)$

domotorp

Zauważ, że , stąd był w #P od czasu Millera – Rabina.

# P^{B P P} = # P

$\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$

π

$\pi$

Emil Jeřábek wspiera Monikę

Odpowiedzi:

$\pi(n)$ $\pi(n)$ $X$ $Y$ $\mathsf{P}$ $\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$ $Y$ $\pi(n)$ $X$

Geoffrey Irving
źródło

\underset{X}{Pr} [{P P}^{X} \neq P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$

\underset{X}{Pr} [P P ⊈ P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$

P P \neq B P P

$\mathrm{PP\ne BPP}$

@ EmilJeřábek: Jasne, ale jeśli chodzi o dowody, że nie jest # P-kompletne, jeśli można by formalnie pokazać, że jeśli jest # P-kompletne, to PP = BPP, wziąłbym to za dość mocny dowód przeciw # P-kompletności ...

π (n)

$\pi(n)$

Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Zgadzam się z tym. Po prostu nie sądzę, że wynik w z losową wyrocznią jest istotny.

P^{X} \neq {P P}^{X}

$\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

Emil Jeřábek wspiera Monikę

@ EmilJeřábek: Tak, to dobra uwaga. Czy zanim zaakceptuję, zaakceptujesz jako dowód fakt, że otrzymał dwie losowe wyrocznie, które, jak sądzę, wiemy?

P^{X Y} \neq # P^{X}

$P^{XY} \ne \#P^X$

Geoffrey Irving

Czy my to wiemy?

Emil Jeřábek wspiera Monikę