Jak pomiar jednego kubitu wpływa na inne?

Aby przedstawić stan komputera kwantowego, wszystkie kubity składają się na jeden wektor stanu (jest to jedna z głównych różnic między obliczeniami kwantowymi i klasycznymi, tak jak je rozumiem). Rozumiem, że można zmierzyć tylko jeden kubit z systemu wielu kubitów. W jaki sposób pomiar tego jednego kubita wpływa na cały system (a konkretnie, w jaki sposób wpływa na wektor stanu)?

Istnieje wiele różnych sposobów patrzenia na kubity, a formalizm wektorów państwowych jest tylko jednym z nich. W ogólnym sensie liniowo-algebraicznym pomiar jest rzutowany na podstawę. Przedstawię tutaj przykład z obserwowalnego punktu widzenia Pauliego, który jest zwykłym modelem obwodu QC.

Po pierwsze, interesujące jest to, na jakiej podstawie jest podawany wektor stanu - każdy operator pomiaru ma zestaw stanów własnych i wszelkie pomiary, na które patrzysz (np. $X,Y,Z, XX, XZ$ itp.) określ podstawę, w której najlepiej byłoby zapisać wektor stanu. Najłatwiej odpowiedzieć na twoje pytanie, jeśli wiesz, która podstawa jest dla Ciebie interesująca, a co ważniejsze, czy dojeżdża do pomiaru, który właśnie wykonałeś .

Dla uproszczenia, powiedzmy, że zaczynasz od dwóch połączonych kubitów w dowolnym stanie zapisanym w bazie $Z$ dla obu kubitów:

$$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$$

Najprostszymi możliwymi pomiarami, które można wykonać, byłoby , czyli operator Z na pierwszym kubicie, a następnie Z 2 , operator Z na drugim kubicie. Co robi pomiar? Rzutuje państwo na jedno z państw. Możesz myśleć o tym jako o wyeliminowaniu wszystkich możliwych odpowiedzi, które są niezgodne z tą, którą właśnie zmierzyliśmy. Na przykład, powiedzmy, że mierzymy Z 1 i otrzymujemy wynik 1 , wówczas uzyskany stan to:$Z_{1}$$Z$$Z_{2}$$Z$$Z_{1}$$1$

$$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$$

Zauważ, że współczynnik z przodu służy tylko do renormalizacji. Zatem nasze prawdopodobieństwo zmierzenia wynosi $Z_{2}=0$$\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$. Note this is different from the probability we had in the initial state, which was $|a|^{2}+|c|^{2}$.

Suppose the next measurement you make does not commute with the previous one, however. This is trickier because you have to implement a change of basis on the state vector in order to understand the probabilities. With Pauli measurements, though, it tends to be easy since the eigenbases relate in a nice way, that is:

$$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$$

$$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$$

Dobry sposób na sprawdzenie zrozumienia: jakie jest prawdopodobieństwo pomiaru po powyższym pomiarze Z 1 = 1 ? Jakie jest prawdopodobieństwo, jeśli nie dokonaliśmy pomiaru Z 1 ? Zatem bardziej skomplikowanym pytaniem jest przyjrzenie się operatorom produktu, którzy działają jednocześnie na oba kubity, na przykład, w jaki sposób pomiar Z 1 Z 2 = + 1 wpływa na stan początkowy? Tutaj Z 1 Z 2 mierzy iloczyn dwóch operatorów.$X= +1$$Z_{1}=1$$Z_{1}$$Z_{1}Z_{2}=+1$$Z_{1}Z_{2}$

$n$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

$$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$$ for some coefficients $u_x \in \mathbb C$ such that $\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$.

• If you are measuring the first qubit in the standard basis, define

  $$\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ and $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$$\lvert 0 \rangle$, the state of the entire system "collapses" to $\lvert \psi_0 \rangle$, and if you obtain $\lvert 1 \rangle$ what you obtain is $\lvert \psi_1 \rangle$.

  This is broadly analogous to the idea of conditional probability distributions: you might think of $\lvert \psi_0 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 0 \rangle$, and $\lvert \psi_1 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 1 \rangle$ (except of course that the story is a bit more complicated, on account of the fact that the first qubit is not "secretly" in either the state $0$ or $1$).

• The above is not strongly dependent on measuring the first qubit: we can define $\lvert \varphi_0 \rangle$ and $\lvert \varphi_1 \rangle$ in terms of fixing any particular bit in the bit string $x$ to either $0$ or $1$, summing over only those components which are consistent with either the choice $0$ or $1$, and proceeding as above.

• The above is also not strongly dependent on measuring in the standard basis, as Emily indicates. If we wish to consider measuring the first qubit in the basis $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$, where $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ and $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$, we define

  $$\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$$ and then proceeding as above.

Less formally-stated than the other answers, but for beginners I like the intuitive method outlined by Prof. Vazirani in this video.

Suppose you have a general two-qbit state:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Now suppose you measure the most-significant (leftmost) qbit in the computational basis (as in, collapse it to either $|0\rangle$ or $|1\rangle$). There are two questions we might ask:

1. What is the probability that the measured qbit collapses to $|0\rangle$? What about $|1\rangle$?
2. What is the state of the 2-qbit system after measurement?

For the first question, the intuitive answer is this: take the sum of squares of all amplitudes associated with the value for which you want to find the probability of collapse. So, if you want to know the probability of the measured qbit collapsing to $|0\rangle$, you'd look at the amplitudes associated with cases $|00\rangle$ and $|01\rangle$, because those are the cases where the measured qbit is $|0\rangle$. Thus:

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

Similarly, for $|1\rangle$ you look at the amplitudes associated with cases $|10\rangle$ and $|11\rangle$, so:

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

As for the state of the 2-qbit system after measurement, what you do is cross out all the components of the superposition which are inconsistent with the answer you got. So, if you measured $|0\rangle$, then the state after measurement is:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!