Alternatywa dla kuli Blocha, która reprezentuje pojedynczy kubit

Aby reprezentować pojedynczy kubit $|\psi\rangle$ używamy wektor jednostkowy w $\mathbb{C}^2$ przestrzeni Hilberta których jeden (z) jest ortonormalną bazę $(|0\rangle, |1\rangle)$ .

Możemy rysować $|\psi\rangle$ użyciu Bloch piłkę . Stwierdziłem jednak, że ta notacja jest dość myląca, ponieważ wektory ortogonalne są przestrzennie antyrównoległe ( krótkie wyjaśnienie w tym pytaniu dotyczącym wymiany stosów fizyki ).

Czy znasz inną reprezentację graficzną dla pojedynczego kubita?

W linku zawartym w twoim pytaniu na temat innego pytania napisanego przez użytkownika090976 „Zrozumienie sfery Blocha” Daniel robi użyteczny komentarz:

„Rysowanie punktów na kuli w celu przedstawienia stanu kwantowego układu dwupoziomowego nie oznacza, że ​​powinieneś myśleć o tych punktach jako o prawdziwych wektorach w przestrzeni 3D. - DanielSank 3 września 2015 o 20:17”.

Uproszczone wyjaśnienie: Jest to dwustronna płaszczyzna (lub dwie płaszczyzny) rzutowane na kulę.

„Uznałem, że ta notacja jest dość myląca, ponieważ wektory ortogonalne są przestrzennie antyrównoległe ( krótkie wyjaśnienie w pytaniu dotyczącym wymiany stosu fizyki ). Czy znasz inną reprezentację graficzną dla pojedynczego kubita?”

Podejmowanych jest wiele wysiłków w celu zapewnienia bardziej ogólnej reprezentacji, która rozciąga się od kubitów do qudytów. To objaśnienie i przedstawienie za pomocą sfery Majorana nie jest tak różne , wciąż jest sferą, ale być może jest mniej mylące:

Kubity na sferze Majorany patrz: „ N-kubit stanowi punkty na kuli Blocha ”.

„Streszczenie. Pokazujemy, w jaki sposób można zastosować reprezentację Majorany do wyrażenia czystych stanów układu N-kubitowego ... Podsumowując, reprezentacja Majorana jest przydatna podczas badania cząstek spin- , natomiast alternatywna reprezentacja jest lepsza, gdy stany $S$$N$ omówiono kubitów. Oprócz pomocy w wizualizacji stanów kubitów i sposobu ich transformacji w rotacjach i innych operacjach, ta ostatnia reprezentacja może również pomóc w identyfikacji niektórych specjalnych stanów N- kubitów, tak jak reprezentacja Majorany w kontekst kondensatu wirnika Bosego-Einsteina. ”.$N$$N$

Zobacz: „ Reprezentacja Majorany, przestrzeń qutrit Hilbert i implementacja NMR bram qutrit ”:

Strona 1:

„Kula Blocha przedstawia stany kwantowe pojedynczego kubita na $\mathcal S^2$ (sfera jednostkowa w trzech rzeczywistych wymiarach), z czystymi stanami odwzorowanymi na powierzchnię i stanami mieszanymi leżącymi we wnętrzu. Ta reprezentacja geometryczna jest przydatna w zapewnianie wizualizacji stanów kwantowych i ich transformacji, szczególnie w przypadku obliczeń kwantowych opartych na NMR, gdzie spin- $\frac{1}{2}$ magnetyzacja i jej transformacja za pomocą impulsów rf NMR jest wizualizowana na kuli Blocha. Istnieje kilka propozycji reprezentacji geometrycznej dla układów kwantowych wyższego poziomu, jednak rozszerzenie obrazu podobnego do kuli Blocha do wyższych spinów nie jest proste. Przedstawienie geometryczne zostało zaproponowane przez Majoranę, w którym czysty stan spinu „” jest reprezentowany przezpunkty„2s” na powierzchni sfery jednostkowej, zwanej sferą Majorany.$s$$_s$

Reprezentacja Majorana dla systemów znalazła szerokie zastosowanie, takie jak określanie fazy geometryczne obrotów, co oznacza N spinors przez N punktów geometryczną reprezentację wielu qubitu splątane stany, statystyki chaotycznej kwantowe dynamicznych i charakteryzowania spolaryzowane światło. Pojedynczy qutrit (trójpoziomowy układ kwantowy) ma szczególne znaczenie w schematach obliczeń kwantowych opartych na qudicie ( układ kwantowy d -poziom) . Qutrit to najmniejszy system, który wykazuje nieodłączne cechy kwantowe, takie jak kontekstualność, która została przypuszczona jako zasób do obliczeń kwantowych$s$$N$$N$$d$ . Obliczenia kwantowe NMR qudit można wykonać za pomocą jąder o spinie s> $\frac{1}{2}$ lub może być modelowany przez dwa lub więcej sprzężonych spin-$\frac{1}{2}$ jądra. W niniejszej pracy wykorzystujemy opis sfery Majorana pojedynczego qutritu, gdzie stany qutritu są reprezentowane przez parę punktów na sferze jednostkowej, aby zapewnić wgląd w przestrzeń stanów qutrit.

Page 5:

Wielkość wektora magnetyzacji → M | w czystym zespole pojedynczego qutrit może przyjmować wartości z zakresu [ 0 , 1 ] . Przeciwnie, czysty zespół kubita zawsze ma wielkość jednostkową wektora magnetyzacji z nim związanego$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . Obraz geometryczny pojedynczego wektora magnetyzacji qutrit jest zapewniony przez reprezentację Majorany. Wartość → M | zależy od długości dwusiecznego O O ′ i leży wzdłuż $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-osi i jest obrotowo niezmienny. Zatem odpowiadając danej wartości długości dwusiecznej, można założyć koncentryczne kule o ciągle zmieniających się promieniach, których powierzchniami są powierzchnie o stałym namagnesowaniu. Promienie tych kulek są równe → M | , które różnią się w zakresie [ 0 $\vert-$$\vec{M}$$\vert$ .$[0,1]$

Page 10:

UWAGI KOŃCOWE

W tej pracy opisano geometryczną reprezentację qutritu, w której stany qutritu są reprezentowane przez dwa punkty na kuli jednostkowej zgodnie z reprezentacją Majorany. Parametryzacji stanów jednego kutrit uzyskano do generowania przypadkowych stanów z rodziny jednego parametru stanów kanonicznych przez działanie transformacji. Wektor magnetyzacji spin- 1 został przedstawiony na kuli Majorany, a stany zidentyfikowano jako „wskazujące” lub „nie-wskazujące” w zależności od zerowej lub niezerowej wartości magnetyzacji spinowej. Transformacje generowane przez działanie S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$generatory zostały również zintegrowane z obrazem geometrycznym Majorany. W przeciwieństwie do kubitów, rozkład bramek kwantowych pojedynczego qutritu pod względem impulsów o częstotliwości radiowej nie jest prosty, a reprezentacja sfery Majorana zapewnia sposób geometrycznego opisu tych bram. Dokładne obserwacje dynamiki punktów reprezentujących qutrit na sferze Majorana pod działaniem różnych bramek kwantowych wykorzystano do uzyskania rozkładu impulsu rf, a podstawowe bramki pojedynczej qutritu zostały eksperymentalnie wdrożone przy użyciu NMR.

FIGA. 1. Qutrit na sferze Majorany jest reprezentowany przez dwa punkty i P 2 , połączone ze środkiem kuli liniami pokazanymi odpowiednio na czerwono i niebiesko. θ 1 , ϕ 1 to kąty biegunowe i azymutalne odpowiadające punktowi P 1 ( θ 2 ,$P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$ są kątami dla punktu P 2 ). (a) Korzenie wielomianu Majorana są pokazane w płaszczyźnie z = 0 przez punkty P ′ 1 i P ′ $\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, którego stereograficzna projekcja prowadzi do przedstawienia Majorany. Przedstawiono trzy przykłady odpowiadające reprezentacji Majorana wektorów bazowych z pojedynczą dawką ,$(b)\;\vert+1\rangle$ i$(c)\;\vert0\rangle$ . Jeden z punktów jest pokazany jako stały (czerwony) okrąg, a drugi punkt jest reprezentowany przez puste (niebieskie) koło.$(d)\;\vert-1\rangle$

Patrz: „ Majorana Representation of Higher Spin States ” (.PDF) autorstwa Wheelera (strona internetowa) lub „ Tomografia Wignera dla stanów wielospinowych ”:

Jak to wygląda za pomocą tomografii - „W tym artykule teoretycznie opracowujemy schemat tomografii sferycznych funkcji dowolnych wielospinowych stanów kwantowych. Badamy schematy eksperymentalne w celu zrekonstruowania uogólnionej reprezentacji Wignera dla danego operatora gęstości (reprezentującej mieszane lub czyste stany kwantowe ). ”

Porównaj to do złożoności sfery Blocha przedstawionej w: Przedstawienie sfer Blocha faz geometrycznych trzech wierzchołków ”. Kształt jest taki sam, wszystko zależy od wizualizacji zastosowanej projekcji.

Oto mniej zajęty obraz:

Pomyśl o kuli Blocha przeciętej na pół przez bardzo duży arkusz papieru. Na krawędzi papieru (nieskończoność) dowolny punkt na górze arkusza rysuje linię do (nieskończoności) górnej części kuli (spód kulki na spodzie arkusza). Punkty najbliższe środka papieru (stany mieszane) rysują linie do środka kuli. To reprezentuje odległość do nieskończoności na małej kulce, qubit / qudit jest skończony, więc papier nie jest tak duży.

Teraz narysuj punkty na papierze 2D, narysuj linie z papieru na kulkę, usuń papier i spójrz na przezroczystą kulkę lub przejrzyj ją, aby zobaczyć drugi punkt końcowy linii.

Znacznie dokładniejsze i trudniejsze wyjaśnienie znajduje się w powyższych linkach.

Dodając do tego, co @pyramids przekazał w swojej odpowiedzi :

Stan kubita jest ogólnie zapisywany jako gdzie α , β ∈ C , i | $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$.$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

jest czterowymiarową przestrzenią wektorową ponad polem liczb rzeczywistych. Ponieważjakakolwiek n- wymiarowa przestrzeń wektora rzeczywistego jest izomorficzna w stosunku do R n ( R ) , możesz reprezentować stan dowolnego kubita jako punkt w4-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej, którego wektory bazowe możesz uznać za(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$ . W takim przypadku stan danego qubitu byłby reprezentowany jako ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + b ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + C ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + d ( 0 , 0 , 0 , 1 $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

Powiedzmy (gdzie , b ∈ R ) i β = c + i d (gdzie c , d ∈ R ). Potrzebujesz warunku | a + i b | 2 + | c + i d | 2$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$ do spełnienia, co oznacza, że ​​stan kubita byłby punktem na3-kuli$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$ .

Jak wiesz, trudno jest skutecznie reprezentować -wymiarową przestrzeń na 2 -wymiarowej powierzchni jak papier lub ekranu. W związku z tym często nie używa się tej reprezentacji. Sfera Blocha jest właściwie najbardziej wydajną reprezentacją (dla pojedynczego kubita), ponieważ zmniejsza jeden stopień swobody (liczb zespolonych α , β, z których każda ma dwa stopnie swobody) ze względu na fakt, że stan kubita jest zwykle znormalizowany do wielkości 1, tj. | α | 2 + | β | 2 = $4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Teraz, korzystając ze współrzędnych Hopfa , powiedzmy:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$ , podczas gdy w kuli o promieniu jednostkowym masz tylko dwa kąty, które możesz zmienić, aby uzyskać różne stany kubita.

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$

W rezultacie otrzymujemy:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$ do $\pi$, i $\phi$ może uciekać $0$ do $2\pi$.

To praktyczne uproszczenie pozwala przedstawić stan kubita za pomocą just $2$ stopnie swobody włączone $3$-wymiarowa powierzchnia sferyczna o promieniu jednostkowym, którą ponownie można skutecznie „narysować” na $2$-wymiarowa powierzchnia, jak pokazano na poniższym obrazie.

Matematycznie nie jest możliwe dalsze zmniejszanie stopni swobody, dlatego powiedziałbym, że nie ma innej „bardziej wydajnej” reprezentacji geometrycznej pojedynczego kubita niż sfera Blocha.

_{Źródło: Wikipedia: Bloch_Sphere}

The Bloch sphere historically came about to describe spins where up and down can actually be viewed as being (anti)parallel rather than (mathematically) orthogonal.

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..