Co należy rozumieć przez „podstawę obliczeniową”?

Co należy rozumieć przez „podstawę obliczeniową” w kontekście obliczeń kwantowych i algorytmów kwantowych?

Kiedy mamy tylko jeden kubit, nie ma nic szczególnego w podstawie obliczeniowej; po prostu miło jest mieć podstawę kanoniczną. W praktyce możesz pomyśleć, że najpierw zaimplementujesz bramkę o i , a następnie powiesz, że podstawą obliczeniową jest podstawa własna tej bramki.Z 2 = I Z ≠ $Z$$Z^2 = I$$Z\neq I$

Kiedy jednak mówimy o systemach z wieloma kubitami, podstawy obliczeniowe są znaczące. Wynika to z wybrania podstawy dla każdego kubitu, a następnie wzięcia podstawy, która jest iloczynem tensorowym wszystkich tych zasad. Wybranie tej samej podstawy dla każdego kubita jest fajne, aby zachować jednolitość, a nazwanie ich i to dobry wybór. To, co naprawdę ważne, to to, że nasze stany bazowe są stanami produktu w naszych kubitach: obliczeniowe stany bazowe można przygotować, inicjując osobno nasze kubity, a następnie łącząc je. Nie dotyczy to dowolnych stanów! Na przykład stan kota wymaga obwodu głębokości dziennika w celu przygotowania go ze stanu produktu.1 $0$$1$$\frac1{\sqrt2}\left(|0^n\rangle + |1^n\rangle\right)$

Obliczenia kwantowe dotyczą (głównie) skończonych wymiarów układów kwantowych zwanych kubitami . Jeśli znasz podstawową mechanikę kwantową, to wiesz, że przestrzeń Hilberta kubita to , tj. Dwuwymiarowa złożona przestrzeń Hilberta nad (dla bardziej technicznych osób przestrzeń Hilberta to właściwie ).C C P $\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$

Dlatego, aby opisać wektory (lub fizycznie stan kwantowy kubit) w tej dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta, potrzebujemy co najmniej dwóch podstawowych elementów. Jeśli myślisz o stanie kubita jako wektora kolumny,

a,ba,b-| * F

$${{\bigl [}{\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}{\bigr ]}},$$ wtedy musisz określić, co określa stan qubit. Zauważ, że zależy od podstawy systemu mogą istnieć dwa różne wyglądające wektory kolumnowe (w różnych bazach), które reprezentują ten sam stan kubita. W każdym razie potrzebujemy pewnej podstawy do pracy i tutaj zaczyna się „podstawa obliczeniowa”.$a,b$$a,b$$-$$|\psi\rangle$

Podstawą obliczeniową są po prostu dwa stany bazowe złożone z (dowolnego) dwóch odrębnych stanów kwantowych, w których kubit może znajdować się fizycznie. Jednak podobnie jak w algebrze liniowej, który dwa wybrane przez ciebie ( liniowo niezależne ) stany są trochę arbitralne (mówię trochę, ponieważ w niektórych sytuacjach fizycznych istnieje naturalny wybór podstawy; patrz Einselection ).

Na przykład, jeśli masz elektron w polu magnetycznym (skierowanym w stronę osi z powiedzmy), wówczas stany spinu skierowanego w górę i w dół w osi z są typowym wyborem dla podstawy obliczeniowej to oczywiście nie jest jedyny wybór, ponieważ oś z może wskazywać w dowolnym dowolnym kierunku. Te dwa stany: i wskazujące spin spinu elektronu są stanami własnymi (Pauli-z) i są zwykle nazywane „podstawą obliczeniową”.| ↑ ⟩ | ↓ ⟩ σ $-$$|\uparrow\rangle$$|\downarrow\rangle$$\sigma_z$

Nie, podstawa obliczeniowa nie ma żadnego specjalnego znaczenia, jest to tylko podstawa, która jest „najbardziej naturalna” w danym kontekście i jest konwencjonalnie oznaczona i w przypadku kubitów.| 1 $|0\rangle$$|1\rangle$

Aby podać kilka przykładów:

1. Jeżeli kubity są zakodowane w polaryzacji pojedynczych fotonów, podstawą obliczeniową jest zazwyczaj podstawa utworzona przez poziomy i pionowy stan polaryzacji fotonu.
2. Jeśli kubity są zakodowane w spinach czegoś takiego jak jony, atomy lub elektrony, wówczas „podstawa obliczeniowa” jest zazwyczaj uważana za podstawę stanów własnych , to znaczy pędu pędu spinowego w kierunku pionowym (oczywiście , co oznacza „pionowy”, zależy również od kontekstu).$S_z$
3. Jeśli kubit jest zakodowany w obecności lub nieobecności fotonu w danym trybie, wówczas „podstawą obliczeniową” jest stan zawodowy tego trybu.

Mógłbym kontynuować. Często mówi się także o „podstawie obliczeniowej” dla stanów wyższego wymiaru (qudits), w którym to przypadku obowiązuje to samo: podstawa nazywana jest „obliczeniową”, gdy jest najbardziej „naturalna” w danym kontekście.

Z czysto teoretycznego punktu widzenia „podstawa obliczeniowa” to nic innego, jak tylko podstawa oznaczona zwykle za pomocą , aby odróżnić ją od innych podstaw mających pewne związek z tym. Zasadnicze znaczenie ma zrozumienie, że z czysto teoretycznego punktu widzenia wszystkie zasady są sobie równoważne i nabierają znaczenia tylko wtedy, gdy ktoś zdecyduje, że dana podstawa reprezentuje określony zestaw stanów jakiegoś systemu fizycznego.$\{|0\rangle, |1\rangle,...\}$

Stan kwantowy to wektor w wielowymiarowej przestrzeni wektorowej (przestrzeń Hilberta). Istnieje jedna podstawa naturalna dla każdego algorytmu kwantowego (lub komputera kwantowego) opartego na kubitach: stany odpowiadające liczbom binarnym są wyjątkowe, są to tak zwane obliczeniowe stany bazowe.