Co z tym prostym oszacowaniem błędu dla liniowego PDE?

10

Niech Ω być wypukła wielobocznie ograniczony Lipschitz domeny w R2 , niech fL2(Ω) .

Δu=fΩtraceu=0ΩH2CuH2CfL2

Dla niektórych przybliżeń elementów skończonych , powiedzmy, z elementami węzłowymi na jednolitej siatce, mamy oszacowanie błęduuh

uuhH1ChuH2

Wydaje się (może się mylę), że ludzie zwykle nie używają oszacowania oczywistego błędu

uuhH1ChfL2

które możemy uzyskać przez połączenie powyższych dwóch nierówności. Zamiast tego opracowano estymatory błędu a posteriori w różnych formach. Jedynym zarzutem, jaki mogę sobie wyobrazić w stosunku do powyższego równania, jest to, że stała może w praktyce być zbyt pesymistyczna lub nie do wiarygodnie oszacowalna.C

shuhalo
źródło

Odpowiedzi:

8

Moim zdaniem ludzie wolą korzystać z pierwszego oszacowania, ponieważ moim zdaniem pierwszy wynika naturalnie z ortogonalności MES Galerkina, własności aproksymacji interpolacji, a przede wszystkim ze spójności postaci dwuliniowej (dla problemu wartości granicznej równania Poissona , jest to równoważne z nierównością Poincarégo / Friedrichsa dla funkcji ): u - u h 2 H 1 ( Ω )H01

uuhH1(Ω)2c1(uuh)L2(Ω)2(uuh)L2(Ω)2=Ω(uuh)(uuh)=Ω(uuh)(uIu)(uuh)L2(Ω)(uIu)L2(Ω)(uuh)L2(Ω)(uIu)L2(Ω)c2huH2(Ω)
gdzie zależy od stałej w nierówności Poincarégo / Friedrichsa dla funkcji , jest interpolacją w skończonej element przestrzeni ic1H01Iuuc2 zależy od minimalnych kątów siatki.

O ile oszacowanie regularności eliptycznej jest wyłącznie na poziomie PDE, nie ma to nic wspólnego z przybliżenie plus powyższy argument obowiązuje nawet wtedy, gdy jest rozkładem. f H -uH2(Ω)cfL2(Ω)fH1

Przejdźmy teraz do tego, dlaczego szacunki błędu a posteriori są szeroko stosowane, głównie dlatego, że:

  • Można to obliczyć, nie ma stałej ogólnej w wyrażeniu szacunków.

  • Estymator ma swoją lokalną postać, która może być lokalnym wskaźnikiem błędu używanym w procedurze adaptacyjnego oczyszczania siatki. Dlatego można rozwiązać problem z osobliwościami lub naprawdę „złymi” geometriami.

Oba wymienione przez ciebie szacunki typu a priori są prawidłowe, dostarczają nam informacji o rzędach zbieżności, jednak żaden z nich nie może być lokalnym wskaźnikiem błędu tylko dla jednego trójkąta / czworościanu, ponieważ żaden z nich nie jest obliczalny ze względu na stałą , ani nie są zdefiniowane lokalnie.

EDYCJA: Aby uzyskać bardziej ogólne spojrzenie na MES eliptyczne PDE, gorąco polecam przeczytanie rozdziału 0 w książce Brennera i Scotta: The Mathematical Theory of Finite Element Methods , która składa się tylko z 20 stron i obejmuje pokrótce prawie każdy aspekt metod elementów skończonych , od formuły Galerkin z PDE, po motywację, dla której chcielibyśmy zastosować adaptacyjne MES, aby rozwiązać jakiś problem. Mam nadzieję, że to pomoże ci bardziej.

Shuhao Cao
źródło
1

Twoje szacunki są zbyt pesymistyczne na dwóch frontach. Zidentyfikowałeś już pierwszy ( obejmuje teraz nie tylko stałą interpolacji, ale także stałą stabilności). Po drugie, szacunek błędu naprawdę czyta Zauważ, że prawa strona ma seminorm , a nie normę. Oczywiście możesz związać RH pełną normą, ale w ten sposób znów przegrywasz.e L 2CCH 2

eL2Ch|u|H2.
H2
Wolfgang Bangerth
źródło