W MES, dlaczego macierz sztywności jest dodatnia?

W klasach MES zwykle przyjmuje się za pewnik, że macierz sztywności jest pozytywnie określona, ​​ale po prostu nie rozumiem, dlaczego. Czy ktoś mógłby podać jakieś wyjaśnienie?

Na przykład możemy rozważyć problem Poissona:

$$-\nabla^2 u = f,$$ którego macierz sztywności jest: $$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$$ który jest symetryczny i pozytywnie określony. Symetria jest oczywistą właściwością, ale pozytywna definitywność nie jest dla mnie tak wyraźna.

Właściwość wynika z właściwości odpowiedniego (słabej postaci) częściowego równania różniczkowego; jest to jedna z zalet metod elementów skończonych w porównaniu np. z metodami różnic skończonych.

Aby to zobaczyć, najpierw przypomnij sobie, że metoda elementów skończonych rozpoczyna się od słabej postaci równania Poissona (zakładam tutaj warunki brzegowe Dirichleta): Znajdź $u\in H^1_0(\Omega)$ takie, że

$$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$$ Ważną właściwością jest tutaj $$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$$ (Wynika to z nierówności Poincarégo.)

Obecnie klasycznym podejściem elementów skończonych jest zastąpienie nieskończonej wymiarowej przez podprzestrzeni skończonej trójwymiarowy i znaleźć taki sposób, że Ważną właściwością jest tutaj które korzystają z tego samego i podprzestrzeń (a odpowiadające dyskretyzacji); oznacza to, że nadal masz $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$$u_h\in V_h$

$$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$$ $a$$V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$$

Teraz do ostatniego etapu: do przekształcenia formy wariacyjne do układu równań liniowych, należy wybrać podstawę z , zapisu i wstaw , do . Macierz sztywności zawiera wówczas wpisy (co pokrywa się z tym, co napisałeś).$\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$$V_h$$u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$$v_h=\varphi_j$$1\leq j\leq N$$(2)$$K$$K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Teraz weź dowolny wektor i ustaw . Następnie mamy przez i dwuliniowość (tzn. Możesz przenieść skalary i sumy na oba argumenty) Ponieważ był arbitralny, oznacza to, że ma wartość dodatnią.$\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$$v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$$(3)$$a$

$$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$$ $\vec v$$K$

TL; DR: Macierz sztywności jest określona dodatnio, ponieważ pochodzi z zgodnej dyskretyzacji (samo-przylegającego) eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego .

Jeśli sztywność elementu nie jest dodatnia, wówczas układ nie jest stabilny. Model najprawdopodobniej nie jest poprawny. Spójrz na najbardziej podstawowe równanie oscylatora harmonicznego

$$m x''(t) + k x(t) = f(t)$$

Rozwiązanie jest niestabilne, jeśli jest ujemne (spójrz na pierwiastki równania charakterystycznego). Oznacza to, że rozwiązanie wybuchnie. Sztywność musi być siłą przywracającą. Przynajmniej na fizyczną sprężynę. Macierz sztywności rozciąga się na dużą liczbę elementów (globalna macierz sztywności). To wszystko. Ale to ten sam podstawowy pomysł. Podstawą MES jest metoda macierzy sztywności do analizy strukturalnej, w której każdy element ma związaną z nią sztywność.$k$