Jakie metody integracji czasowej powinniśmy stosować w przypadku hiperbolicznych PDE?

Jeśli zastosujemy metodę linii do dyskretyzacji (odrębna dyskretyza czasu i przestrzeni) hiperbolicznych PDE, uzyskamy po dyskretyzacji przestrzennej naszą ulubioną metodą numeryczną (fx. Finite Volume Method), czy w praktyce ma znaczenie to, który solver ODE zastosujemy do dyskretyzacji czasowej (TVD / SSP / etc)?

Dodano kilka dodatkowych informacji: Problem z dokładnością może być problemem w przypadku problemów nieładnych. Wiadomo, że nieliniowe hiperboliczne PDE mogą powodować wstrząsy w skończonym czasie, mimo że początkowe rozwiązanie jest gładkie, w którym to przypadku dokładność może obniżyć się do pierwszego rzędu w przypadku metod wyższego rzędu.

Analiza stabilności ODE jest zazwyczaj przeprowadzana w oparciu o linearyzację w celu uzyskania liniowego półdyskretnego układu ODE w postaci q_t = J q (z wektorem zakłóceń qa), gdzie wartości własne J powinny być skalowane w obrębie absolutnego regionu stabilności wybranego czasu metoda krokowa. Alternatywną strategią jest zastosowanie pseudospectra lub ewentualnie metody energetycznej do analizy stabilności.

Rozumiem, że motywacją dla metod TVD / SSP jest unikanie fałszywych oscylacji spowodowanych metodami skokowymi czasowymi, które mogą powodować niefizyczne zachowanie. Pytanie brzmi, czy doświadczenia pokazują, że tego rodzaju metody krokowe są lepsze w porównaniu z np. Klasycznym koniem roboczym jako jawną Metodą Runge-Kutty lub innymi. Oczywiście powinny mieć lepsze właściwości dla klas problemów, w których rozwiązanie może wykazywać szoki. Można zatem argumentować, że powinniśmy stosować tylko tego rodzaju metody integracji czasu.

Nie wiem, czy nadal interesuje Cię odpowiedź, ale i tak idę:

Powiedziałeś już, że wiesz o tworzeniu się szoku w równaniach nieliniowych. Właśnie dlatego musisz starannie wybrać integrator czasu. Nie ma sensu stosować dyskretyzacji przestrzennej TVD, gdy dyskretyzacja czasowa nie jest - zobaczysz te same oscylacje, które prawdopodobnie widziałeś przy strumieniach numerycznych wyższego rzędu.

Sprowadza się to do tego, że działa Euler. Wspomniałeś już w swoim pytaniu o SSP (zachowanie silnej stabilności). Jest to specjalna klasa metod Runge-Kutta, która wykorzystuje to. Zasadniczo musisz wybrać współczynniki metody w taki sposób, aby można ją było zapisać jako wypukłą kombinację kroków Eulera. W ten sposób właściwości takie jak TVD i takie zostaną zachowane.

Istnieje bardzo dobra książka na temat metod SSP autorstwa Gottlieba, Ketchesona i Shu zatytułowana „Silna stabilność zachowująca Runge-Kutta i dyskretyzacja czasu wieloetapowego” amazon link

Tak, to ma znaczenie. Zazwyczaj należy się martwić o dwie rzeczy:

1. Precyzja. Niektóre schematy ODE są dokładniejsze niż inne, wyższego rzędu i tak dalej. Zasadą jest wybór metody o kolejności dokładności podobnej do dyskretyzacji przestrzennej.

2. Stabilność. W przypadku problemów hiperbolicznych oczekujesz, że operator będzie posiadał czystą wyobrażoną wartość własną, więc potrzebujesz solvera ODE, który zawiera część wyobrażonego dostępu w swojej domenie stabilności. Patrz na przykład Załącznik G w Fornberg, Praktyczny przewodnik po metodach pseudospektralnych.

W przypadku równań hiperbolicznych niektórzy ludzie chcą mieć pewność, że ich rozwiązania są zawsze pozytywne, więc istnieją różne rodzaje filtrów i sztuczek, aby to zapewnić. Ale nic o tym nie wiem.

Jestem daleki od eksperta, ale pomyślałem, że spróbuję odpowiedzieć, odkąd pytanie już tu jest.