Jakie dyskretyzacje przestrzenne działają dla przepływu nieściśliwego z anizotropowymi siatkami granicznymi?

12

Przepływy o dużej liczbie Reynoldsa wytwarzają bardzo cienkie warstwy przyścienne. Jeśli rozdzielczość ściany jest używana w symulacji dużego wiru, współczynnik kształtu może być rzędu . Wiele metod staje się niestabilnych w tym systemie, ponieważ stała inf-sup degraduje się jako pierwiastek kwadratowy współczynnika kształtu lub gorzej. Stała inf-sup jest ważna, ponieważ wpływa na liczbę warunków układu liniowego i właściwości aproksymacyjne rozwiązania dyskretnego. W szczególności następujące ograniczenia a priori ograniczają dyskretny błąd (Brezzi i Fortin 1991)106

μuuhH1C[μβinfvVuvH1+infqQpqL2]pphL2Cβ[μβinfvVuvH1+infqQpqL2]

gdzie μ jest lepkością dynamiczną, a β jest stałą inf-sup. Z tego wynika, że ​​jako β0 aproksymacje prędkości i (zwłaszcza) stają się gorsze niż najlepsze dostępne w przestrzeni elementów skończonych (tj. Stała optymalności Galerkina rośnie wraz z β1 i β2 odpowiednio).

Jakie metody mają jednolitą stabilność inf-sup niezależnie od współczynnika kształtu?

Które z nich można stosować z nieustrukturyzowanymi siatkami?

W jaki sposób szacunki uogólniają się na przybliżenia najwyższego rzędu?

Jed Brown
źródło

Odpowiedzi:

12

Schematy różnic skończonych MAC (Harlow i Welch 1965) są jednolicie stabilne, ale wymagają siatek o gładkiej strukturze i są dokładne tylko drugiego rzędu.

Metody elementów skończonych są preferowane w przypadku metod niestrukturalnych i wysokich. W przypadku ciągłych metod elementów skończonych Galerkina nie ma znanych przestrzeni, które mają optymalne właściwości aproksymacyjne i są jednakowo stabilne.

  • QkPk1disc ma optymalne właściwości aproksymacyjne i jest lokalnie konserwatywny, ale stała inf-sup degraduje się jako pierwiastek kwadratowy współczynnika kształtu. Szczegóły patrz Bernardi i Maday 1999.

  • QkQk2disc ma stałą inf-sup niezależnie od proporcji i jest lokalnie konserwatywna, ale stała inf-sup jest skalowana jako wraz ze wzrostem kolejności wielomianów (Maday i in. 1992) na siatkach o regularnych kształtach. W przypadku siatek z wiszącymi węzłami lub ponownie wprowadzonymi narożnikami ta granica jest ostra w 2D (Schoetzau i in. 1998), ale dalej zmniejsza się do w 3D (Toselli i Schwab 2003).O(k1d2)k3/2

  • Obróconym stwierdzone: niezgodne z elementem z Rannacher & Turek 1994 jest jednolicie stabilne, posiada optymalne właściwości aproksymacji i jest lokalnie konserwatywny, ale nie spełnia nierówność dyskretnej Korn, więc potrzebuje korekt granicznych dla pewnych warunków brzegowych i nie mogą być wykorzystywane do zmienne przepływy lepkości. Późniejsza praca autorów usiłowała ustabilizować te metody za pomocą strumieni krawędziowych, ale wynikające z nich dyskretyzacje tracą wiele atrakcyjnych właściwości wydajnościowych.Q1P0

  • Ainsworth i Coggins 2000 konstruują wysoce techniczne przestrzenie, które działają nieco lepiej, ale wydają się mieć ograniczoną użyteczność.

W przypadku nieciągłego Galerkina obraz jest nieco lepszy:

  • Przestrzeń nieciągła jest jednorodnie stabilna i ma optymalne właściwości aproksymacyjne (Schoetzau, Schwab i Toselli 2004). Ta kombinacja nie jest dostępna w przypadku przestrzeni o stałej prędkości. Stała inf-sup nadal zależy od stopnia wielomianu, jednak skaluje się jako .QkQk1k3/2
Jed Brown
źródło