Kiedy używamy wielomianów Bernsteina w aplikacji

9

Gdy preferowane jest użycie wielomianów Bernsteina do przybliżenia funkcji ciągłej zamiast stosowania tylko następujących wstępnych metod analizy numerycznej: „Wielomiany Lagrange'a”, „Proste operatory różnic skończonych”.

Pytanie dotyczy porównania tych metod.

AmirHosein Sadeghimanesh
źródło
2
Dlaczego BERNSTEIN jest kapitalizowane? Czy dotyczy to konkretnego pakietu oprogramowania?
3
Jeden aspekt mojego pytania dotyczył prawie twojego pytania. Chcę zobaczyć, czy jest jakaś przewaga w stosowaniu tej metody zamiast tych wymienionych w bardzo szczególnym przypadku? Wielomiany BERNSTEIN same w sobie są ładne i mają wiele właściwości, ale czy lepiej je stosować na przykład w programie komputerowym lub w innych sytuacjach?

Odpowiedzi:

7

Zarówno wielomiany Bernsteina, jak i wielomiany Lagrange'a obejmują te same przestrzenie. Zatem pod względem możliwych funkcji, które można reprezentować, użycie jednej lub drugiej nie ma znaczenia. Jeśli jednak zastanawiasz się nad wykorzystaniem ich jako funkcji bazowych w metodzie elementu skończonego lub w problemie interpolacji, właściwości spektralne tworzonego operatora liniowego będą zależeć od wielomianów wybranych jako podstawa. Może to powodować różnice w zbieżności iteracyjnych solverów. Jednak w przypadku braku błędu algebry liniowej otrzymasz tę samą odpowiedź przy użyciu dowolnej podstawy.

Porównywanie tego do operatorów różnic skończonych to inna historia. Używanie wielomianów da przybliżenia błędów dla ciągłej normy. Nie znam się tak dobrze na różnicach skończonych, ale rozumiem, że oszacowanie błędu będzie możliwe tylko w lokalizacjach, które zdecydujesz się zdyskretować. To, co dzieje się pomiędzy tymi punktami, nie jest tak jasne.

Nathan Collier
źródło
7

Korzystam z wielomianów Bernsteina w metodzie kolokacji, aby rozwiązać problemy z wartościami granicznymi dla ODE i PDE. Są dość interesujące.

Konwergencja była wykładnicza dla niektórych liniowych BVP, ale niewiele wolniejsza w porównaniu do kolokacji Czebyszewa, Legendre Galerkin i Tau.

Oto liczba porównująca współczynniki zbieżności z niektórymi metodami spektralnymi Czebyszewa. Przykładowym problemem jest liniowy BVP:

d2udx24dudx+4u=ex+C,x[1,1]

z jednorodnymi BC Dirichleta, a C jest stałą C=4e/(1+e)2.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Przesłałem również tę figurę do figshare .

Jeśli chcesz, możesz sprawdzić kod, który piszę:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

A oto artykuł Arxiv, który napisałem o rozwiązywaniu eliptycznych BVP na kwadracie za pomocą wielomianowej kolokacji Bernsteina.

W ubiegłym roku obchodzili setną rocznicę wielomianów Bernsteina - jeszcze jeden interesujący fakt.

John Travolta
źródło
1
O stuleciu - patrz Rida T. Farouki, Wielomian Bernarda: Centennial retrospective, Computer Aided Geometric Design , tom 29, wydanie 6, sierpień 2012, strony 379-419, DOI: 10.1016 / j.cagd.2012.03.001 .
lhf
2
Interesujące jest również: Niezawodne przetwarzanie - Specjalny numer dotyczący wykorzystania wielomianów Bernsteina w niezawodnym przetwarzaniu: interwał w
Johntra Volta
2
Istnieje pewna teoria dotycząca zastosowania wielomianów Bernsteina w metodzie kolokacji. Kiedy przejdziesz do wielu zakresów (elementów), musisz użyć przynajmniejC1B-splajny. Zobacz metody kolokacji ISOGEOMETRYCZNEJ F. AURICCHIO, L. BEIRÃO DA VEIGA, TJR HUGHES, A. REALI i G. SANGALLI, Modele matematyczne i metody stosowane w naukach stosowanych 2010 20:11, 2075-2107
Nathan Collier
6

Poniższy artykuł pokazuje, że reprezentacja wielomianów w postaci Bernsteina prowadzi w wielu przypadkach do algorytmów stabilnych numerycznie:

RT Farouki, VT Rajan, O stanie liczbowym wielomianów w formie Bernsteina, Computer Aided Geometric Design , Tom 4, Issue 3, November 1987, Pages 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

lhf
źródło
2

Punkty kontrolne krzywej Béziera znajdują się blisko krzywej, ale niekoniecznie na krzywej. Jest to dokładnie taka sama sytuacja, jak w przypadku przybliżenia wielomianów Bernsteina, a w rzeczywistości wielomian Bernsteina stanowi podstawę krzywej Béziera. Możesz użyć krzywej Béziera wysokiego rzędu, aby narysować gładką linię przez krzywą wyznaczoną przez hałaśliwe punkty, również nikt nie zrobiłby tego z powodu dużego wysiłku obliczeniowego. W rzeczywistości z tego właśnie powodu interpolacja wielomianowa wysokiego rzędu jest rzadko stosowana, tylko interpolacja Czebyszewa jest czasami wyjątkiem od tej reguły.

Ale jeśli mówimy tylko o interpolacji wielomianowej niskiego rzędu, to intuicyjna specyfikacja krzywej Béziera za pomocą punktów kontrolnych stanowi wyraźną przewagę nad innymi metodami. Jednak pod tym względem NURBS są jeszcze lepsze, ale przynajmniej krzywa Béziera jest szczególnym przypadkiem NURBS, a wielomian Bernsteina jest również ważnym składnikiem NURBS.

Thomas Klimpel
źródło