Jak bieguny są powiązane z pasmem przenoszenia

16

Niedawno popadłem w błąd , biorąc pod uwagę biegun s = 1, ponieważ istnieje nieskończona odpowiedź na częstotliwości 1. Jednak odpowiedź była tylko 1. Teraz, czy możesz wyliczyć odpowiedź częstotliwościową, biorąc pod uwagę bieguny?

Po drugie, teoria mówi, że układ jest stabilny, gdy bieguny znajdują się w lewej płaszczyźnie s, a zatem rozpadają się w czasie. Ale poczekaj. Czy „biegun” oznacza nieskończoną odpowiedź - wzrost w czasie?

Wreszcie, czy to właściwe pytanie w DSP? IMO, D oznacza cyfrową, podczas gdy s-domena jest analogowa. Nie znajduję tagów transformacji s-plane ani Laplace do opisania mojego postu.

aktualizacja Dziękujemy za odpowiedzi. Wydaje się, że mam go, z wyjątkiem jednej drobnej, ale fundamentalnej rzeczy - relacji biegunów (i zer) z częstotliwością. Zasadniczo, dlaczego są wartości własne (lub, jak można nazwać operator / zmienna) związane z częstotliwością? Powinno to być w jakiś sposób związane z wykładniczym wzrostem i transformacją Laplace'a. Rozumiem, że bieguny są wartościami własnymi (szczególnie w przypadku dyskretnych nawrotów). Ale jak to się ma do częstotliwości?s

Val
źródło
1
To „wymiana stosu przetwarzania sygnałów”, a nie „wymiana stosu DSP”. :)
endolith
4
Tak, jak wspomniano w endoith, analogowe przetwarzanie sygnału jest na ten temat. DSP.SE to celowa nazwa do pierwszego uruchomienia, ale teraz links.stackexchange.com również tutaj prowadzi.
Datageist
Co dokładnie masz na myśli, gdy pytasz o relacje między Polakami a Częstotliwościami?
Sudarsan
1
Oczywiście tak i jak bieguny określają charakterystykę częstotliwościową.
Val
Odpowiedź chyba już została udzielona. Pasmo przenoszenia jest wielkością odpowiedzi systemu podczas ruchu wzdłuż osi jotω . Jeśli uwzględniłeś funkcję transferu systemu H.(s) w iloczynie 1/(s-pja) i (s-zja) , wszystko, co musisz zrobić, to znaleźć wielkość przy s=jotω dla transferu Funkcja, a to oczywiście zależy od położenia biegunów i zer, ponieważ będą to te, które pojawią się w odpowiedzi na system faktorów.
Sudarsan

Odpowiedzi:

12

Myślę, że w twoim pytaniu są 3 pytania:

P1: Czy mogę uzyskać odpowiedź częstotliwościową na podstawie biegunów układu (liniowego niezmiennika czasowego)?

Tak, możesz, aż do stałej. Jeśli s,ja , ja=1,,N., są biegunami funkcji przesyłania, możesz zapisać funkcję przesyłania jako

(1)H(s)=k(ss,1)(s-s,2))(s-s,N.)

Zauważ, że s jest zmienną zespoloną s=σ+jotω , a zmienna częstotliwości ω odpowiada urojonej osi złożonej s płaszczyzny. Teraz musimy uzyskać odpowiedź częstotliwościową z funkcji przenoszenia. W przypadku systemów stabilnych można to po prostu zrobić, oceniając funkcję przenoszenia H.(s) dla s=jotω . Więc zastępujesz s przez jotω w (1) i gotowe. Należy jednak zauważyć, że jest to prawdą tylko w przypadku systemów stabilnych (tj. Jeśli region konwergencji H.(s) obejmujeośjotω ).

P2: W jaki sposób stabilny system może mieć bieguny?

Jak już wiesz, w przypadku układów przyczynowych i stabilnych wszystkie bieguny muszą leżeć w lewej półpłaszczyźnie złożonej płaszczyzny s . Rzeczywiście, wartość funkcji przenoszenia H.(s) przejdzie do nieskończoności na biegunie s=s , ale odpowiedź częstotliwościowa będzie OK, ponieważ jeśli wszystkie bieguny znajdują się w lewej pół-płaszczyźnie, nie ma biegunów na jotω oś (lub po jej prawej stronie). Jeśli spojrzysz na to w dziedzinie czasu, to każdy (prosty) biegun ma wkład mist w odpowiedź impulsową systemu. Jeśli biegun znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, oznacza to, że s=σ+jotω ma ujemną część rzeczywistąσ<0 . Więc

est=eσejω

jest funkcją wykładniczo tłumioną i nie rośnie, ale zanika, ponieważ σ<0 .

P3: Czy to pytanie należy tutaj?

Inni członkowie społeczności muszą ocenić, czy to pytanie należy tutaj. Myślę, że tak. Oczywiście nie jest to bezpośrednio związane z czystym DSP, ale inżynierowie DSP bardzo często muszą również radzić sobie z sygnałami i systemami analogowymi przed konwersją AD, więc wiedzą też o ciągłej teorii systemu. Po drugie, prawie wszyscy ludzie DSP (przynajmniej ci z tradycyjnym treningiem) byli dość narażeni na ogólne sygnały i teorię systemów, w tym systemy ciągłe i dyskretne.

Nawiasem mówiąc, dla układów dyskretnych masz Z -transform zamiast transformaty Laplace'a, a kompleks zmienna nazywa się teraz z zamiast s . Wspomniana zmienna D jest zdefiniowana jako D=z1 i jest używana głównie w literaturze kodowania. Z definicji oznacza element opóźniający, więc D oznacza „opóźnienie” (nie „cyfrowe”).

Jeśli wiesz, że lewa pół-plane kompleksu s -plane map do obszaru wewnątrz okręgu jednostkowego kompleksu z -plane (tj |z|<1 ), a jω -działający mapy do okręgu jednostkowego |z|=1 , wtedy prawie wszystko, co wiesz o jednej z dwóch domen, łatwo przeniesie się do drugiej domeny.

Matt L.
źródło
Myślę, że odpowiedź częstotliwościowa obejmuje złożoną koniugację w dodatku s w H (s) dla s = jω.
Val
16

Jedną z rzeczy, która naprawdę pomogła mi zrozumieć bieguny i zera, jest wizualizacja ich jako powierzchni amplitudy. Kilka z tych wykresów można znaleźć w A Filter Primer . Niektóre uwagi:

  • Prawdopodobnie łatwiej jest najpierw nauczyć się analogowej płaszczyzny S, a po jej zrozumieniu nauczyć się, jak działa cyfrowa płaszczyzna Z.
  • Zero to punkt, w którym wzmocnienie funkcji przenoszenia wynosi zero.
  • Biegun to punkt, w którym wzmocnienie funkcji przenoszenia jest nieskończone.
  • Często w nieskończoności są zera lub bieguny, które nie zawsze są zawarte w opisach funkcji przenoszenia, ale są konieczne do jej zrozumienia.
  • Pasmo przenoszenia w płaszczyźnie S zachodzi tylko wzdłuż osi jω.
    • Początek wynosi 0 Hz lub DC, a częstotliwość odcięcia filtrów zwiększa się promieniowo od źródła. Umieszczenie bieguna w dowolnym punkcie wzdłuż okręgu w pewnej odległości od początku spowoduje wytworzenie tej samej częstotliwości odcięcia.
    • Aby zwiększyć częstotliwość odcięcia filtra, przesuń bieguny promieniowo na zewnątrz.
    • Aby zwiększyć Q filtra biquad, przesuń bieguny wzdłuż koła w kierunku osi jω, co utrzymuje stałą częstotliwość odcięcia, ale zwiększa wpływ, jaki biegun wywiera na odpowiedź częstotliwościową, czyniąc ją bardziej „szczytową”.
    • Przesuwanie biegunów wzdłuż okręgu utrzymuje stałą częstotliwość odcięcia, ale zmienia Q
  • Jeżeli zero pojawi się na osi jω, wówczas odpowiedź częstotliwościowa spadnie do zera na tej częstotliwości; jeśli wprowadzisz falę sinusoidalną przy tej częstotliwości, wyjście wyniesie 0.
  • Jeśli biegun pojawia się na osi jω, wówczas odpowiedzią impulsową jest oscylator; jakikolwiek impuls sprawi, że będzie dzwonił wiecznie z tą częstotliwością. Impulsy mają skończoną energię, ale odpowiedź filtra ma nieskończoną energię, więc ma nieskończony zysk.

Prostym przykładem jest integrator H (s) = 1 / s:

  • Ta funkcja jest równa 0, gdy s jest nieskończone, więc ma zero w nieskończoności.
  • Ta funkcja jest równa nieskończoności, gdy s wynosi zero, więc ma biegun na zero.

Innymi słowy, ma nieskończone wzmocnienie w DC (odpowiedź krokowa integratora stale rośnie), a wzmocnienie maleje wraz ze wzrostem częstotliwości:

Wykres integratora integratora

Przesunięcie bieguna od początku wzdłuż osi urojonej w lewą rękę płaszczyzny S powoduje, że wzmocnienie przy 0 Hz na osi jw ponownie jest skończone, a teraz masz filtr dolnoprzepustowy:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

endolit
źródło
+1, fajna odpowiedź. Ale nie rozumiem, co masz na myśli przez „Każdy punkt na okręgu w pewnej odległości od początku ma tę samą częstotliwość”. Krzywe o stałej częstotliwości w płaszczyźnie są liniami równoległymi do osi rzeczywistej. Dla okręgów o początku s = 0 otrzymujesz σ 2 + ω 2 = c o n s t , gdzie s = σ + j ω . ss=0σ2+ω2=consts=σ+jω
Matt L.
Wygląda na to, że pomylił samolot s z samolotem Z
Val
@MattL .: Hmmm. Myślę na przykład o biegunach filtra Butterwortha N-tego rzędu, które znajdują się wzdłuż koła w równej odległości od źródła, lub o biegunach bikwada poruszających się wzdłuż koła w równej odległości od źródła, gdy dostosowujesz Q filtra, utrzymując stała częstotliwości lub zmiana odcięcia filtra przez przesunięcie biegunów bliżej lub z dala od źródła w kierunku promieniowym, lub przekształcenie dolnoprzepustowego na górnoprzepustowy poprzez odwrócenie biegunów wokół okręgu jednostki. Jak mam to przeredagować?
endolith,
@Val: Częstotliwość odcięcia . Już edytowałem post, aby go poprawić.
endolith,
6
Val, Nie potrzeba nikczemnego, złośliwego komentarza do @endolith.
Spacey,
1

Nie powiem pełnego odwzorowania biegunów (1) / zer (0) na odpowiedź częstotliwościową, ale myślę, że mogę wyjaśnić związek między częstotliwością a odpowiedzią zerową / nieskończoną, dlaczego masz odpowiedź nieskończoną / zerową na tj. co e - j w ma wspólnego z z .ejw=zzero/pole,ejwz

Ogólna postać układu liniowego to które mogą rozwiązać w z-od jako Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z + b

yn+a1yn1+a2yn2+=b0xn+b1xn1+b2xn2+,
Y(z)=(b0+b1z+b2z2+)(1+a1z+a2z2+)X(z)=H(z)X(z)=(1z0z)(1z1z)(1p0z)(1p1z)X(z).

Ostatecznie seria produktów dwumianowych można traktować jako szereg systemów, w których pierwsze wyjście jest wejściem dla innego.(1z0z)11p0z

Chciałbym przeanalizować wpływ pojedynczego bieguna i zera. Wyróżnijmy pierwsze zero, uważając to za funkcję przenoszenia, tak aby reszta była sygnałem wejściowym, Y ( z ) = ( 1 - z 0 z ) Χ ( z ) , co odpowiada niektóre y n = b 0 x n + b 1 x n - 1 . Weźmy b 0H(z)X(z)Y(z)=(1z0z)Χ(z),yn=b0xn+b1xn1. dla uproszczenia. Mam na myśli, że y n = x n + x n - 1 .b0=b1=1yn=xn+xn1

Co chcemy określić wpływ układu H (z) na sygnał harmoniczny. Oznacza to, że wejście będzie sygnałem testowym Odpowiedź będzie wynosić y n = x n + x n

xn=ejwnz1+ejwz+e2jwz2+=1/(1ejw)=X(z).
to znaczy,1+ e - j w jest funkcją przesyłania lubY(z)= ( 1 + z )
yn=xn+xn1|xn=ejwn=ejwn+ejw(n1)=ejwn(1+ejw)
1+ejw.Y(z)=(1+z)(1ejwz)=(1+z)X(z)

Należy pamiętać, że zasadniczo mówi, że wyjście jest sumą sygnału wejściowego plus sygnału przesuniętego, ponieważ pojedynczy z oznacza opóźnienie pojedynczego zegara w dziedzinie czasu.1+zz

H(jw)=1+ejw=ejw/2(ejw/2+ejw/2)=ejw/22cos(w/2)

{w=0H(j0)=12cos(0)=2w=πH(jπ)=ejπ/22cos(π/2)=0

2cosα=eiα+eiα

yn=xnxn|xn=ejwn=ejwn(1ejw)H(jw)=(1ejw)=ejw/2(ejw/2ejw/2)=ejw2sin(w/2)w=0sin(0)=0

H(jw)=1ejw=0ejw=1=e0w=0.

H(z)=1±zH(jw)=1±ejwejw

yn=xn±xn1=0±1±z=0ejwnejw(n1)ejwejwn(1±ejw)=01±ejw1±z=0

yn=b0xn+b1xn1

Y(z)=(b0+b1z)X(z)=(b0+b1z)(1+x1z+x2z2+)=b0+(b0x1+b1x0)z+(b0x2+b1x1)z2+.
b0+b1z=0z=b0/b1,
yn(xn=ejwn)=b0ejwn+b1ejw(n1)=ejwn(b0+b1ejw)=ejwnb0(1z0ejw),

which goes to zero when 1z0ejw=0 or ejw=1/z0, which matches the computation for z if z=ejw. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio 1/z0=ejw by choosing appropriate frequency w, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency w so that zero z=1/z0=ejw.

Now, what about the poles? Let's single out a single pole a. The system has a from of yn=ayn1+(xn+xn1+), under assumption y0=0, has z-transform of Y(z)=X(z)/(1az).

The feedback a is equivalent to infinite impulse response 1,a,a2,z1+az+a2z2+=1/(1az). It says that response is infinite when z=1/a. What does it mean if we apply the test signal

xn=ejwnzX(z)=1+ejwz+e2jwz2+=1/(1ejwz)
to our system? We'll get Y(z)=11az11ejwz, or
yn=ejwn+aejw(n1)+a2ejw(n2)+=ejwn(1+aejw+a2e2jw+)=ejwn1aejw.
That is, frequency response is 1/(1aejw), which goes to infinity when ejw=1/a, the same as zpole above, ejw=zpole=1/a. But again, you can not always arrive at the pole 1/a adjusting the frequency w alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like (kejw)n.

That is, zeroes or poles of the transfer function H(z) happen to match the zeroes and poles of frequency response H(jw), which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, ejwn/ejw(n1)=ejw=1/zzero in case of zeroes. The fact that ejwn scales exponentially over time, along with the system with feedback a, also seems to be the key for matching between ejw and zpoles. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of ejwn, the basis function must also have adjustable amplitude factor kn.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.

Valentin Tihomirov
źródło