Czy złożone wykładnicze są jedynymi funkcjami własnymi systemów LTI?

12

Czy istnieje przykład funkcji własnej systemu liniowego niezmiennika czasu (LTI), który nie jest złożonym wykładniczym? Justin Romberg z funkcji własnych systemów LTI mówi, że takie funkcje własne istnieją, ale nie jestem w stanie ich znaleźć.

linear-systems theory eigendecomposition Vinod
źródło

9

Wszystkie funkcje własne systemu LTI można opisać w kategoriach złożonych wykładników, a złożone wykładniki stanowią kompletną podstawę przestrzeni sygnałowej. Jeśli jednak masz system, który jest zdegenerowany , co oznacza, że masz przestrzenie wewnętrzne o wymiarze> 1, wówczas wszystkie wektory własne odpowiadającej wartości własnej są liniową kombinacją wektorów z podprzestrzeni. A liniowe kombinacje złożonych wykładników o różnych częstotliwościach nie są już złożonymi wykładnikami.

Bardzo prosty przykład: operator tożsamości 1 jako system LTI ma całą przestrzeń sygnałową jako przestrzeń elektronową z wartością własną 1. Oznacza to, że WSZYSTKIE funkcje są funkcjami własnymi.

Jazzmaniac
źródło

1

Oczywiście z wyjątkiem funkcji zerowej :) Żartowałem

Laurent Duval

1

W przypadku dowolnego dowolnego systemu LTI złożona wykładnicza jest, zgodnie z moją najlepszą wiedzą, jedynym znanym sygnałem elektronowym. Z drugiej strony rozważ idealny LPF. Funkcja : może być łatwo postrzegana jako sygnał własny. Wskazuje to na istnienie systemów LTI (takich jak idealny LPF) posiadających sygnały inne niż złożone wykładnicze jako sygnały własne ( w tym przypadku ). $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

CSR
źródło

2

Przeciwnie: reguła jest taka, że systemy LTI mają zdegenerowane przestrzenie eigens, a zatem wektory własne, które nie są złożonymi wykładnikami. Rozważ system z prawdziwą wydajnością. Następnie , co oznacza, że jeśli jest rzeczywiste, a , to masz już dwuwymiarową przestrzeń elektronową, a prawdziwy sinus jest wektorem własnym. Oznacza to, że każdy system LTI, który ma odpowiedź fazową, która staje się wielokrotnością dla kwalifikuje się. To raczej reguła niż wyjątek.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

Jazzmaniac

1

właściwie każdy czysty wykładniczy jest funkcją własną systemu LTI. jeśli nie masz nic przeciwko radzeniu sobie z szybko zbliżającymi się wielkościami , nie ma teoretycznego wymogu, aby wykładniczy był złożony lub rzeczywisty.

\infty

$\infty$

Robert Bristol-Johnson

1

wiem, że zredagowałem twoją odpowiedź (aby uczynić ją bardziej zrozumiałą i poprawną z semantyką), ale twoja odpowiedź jest błędna. jest nie ogólna funkcja własna do ogólnego systemu LTI. to jest funkcją własną dla konkretnego DSM które mają , ale nie do innych.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

Robert Bristol-Johnson

1

ewidentnie „jeśli nie masz nic przeciwko radzeniu sobie z szybko zbliżającymi się wielkościami ∞”, to nie to samo, co „przestrzeń sygnału, którą zwykle uważa się za… sfałszowaną przestrzeń Hilberta o funkcjach całkowitych kwadratowych”. wszystko co mówię jest takie, że jeśli jest twoim wejściem, to jest twoim wyjściem (gdzie jest Laplace'em transformata odpowiedzi impulsowej LTI ). dla mnie wygląda jak funkcja własna. ale masz rację co do specyfikacji CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

Robert Bristol-Johnson

1

@ Fat32, wymaganie dobrze funkcjonującej przestrzeni funkcji nie dotyczy stabilności i jest dalekie od niepotrzebnego lub arbitralnego. Większość przydatnych wyników w teorii przetwarzania sygnałów opiera się na dobrze zachowanych przestrzeniach sygnałowych. Szczególnie przydatne jest twierdzenie spektralne ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), a to twierdzenie wymaga pewnych przestrzeni funkcyjnych, z których jest możliwym wyborem. Jeśli chcesz zastosować ten schemat matematyczny (i zaufaj mi, chcesz), nie możesz zaakceptować sygnałów, które proponujesz jako znaki elektroniczne.

L^{2}

$L^2$

Jazzmaniac

0

Myślałem, że jasno sformułowałem swoją odpowiedź --- najwyraźniej nie :-). Pierwotne pytanie brzmiało: „Czy oprócz złożonego wykładniczego systemu LTI istnieją znaki elektroniczne?”. Odpowiedź brzmi: jeśli przyjmie się fakt, że system jest LTI, ale nic więcej nie jest znane, to jedynym potwierdzonym znakiem jest złożony wykładniczy. W szczególnych przypadkach system może mieć również dodatkowe znaki elektroniczne. Podanym przeze mnie przykładem był idealny LPF, przy czym sinc jest takim znakiem eigensignal. Zauważ, że funkcja sinc nie jest sygnałem arbitralnym systemu LTI. Podałem LPF i sinc jako przykład, aby wskazać przypadek niebanalny --- x (t) = y (t) zaspokoi matematyka, ale nie inżyniera: ->. Jestem pewien, że można wymyślić inne specyficzne nietrywialne przykłady, które oprócz sygnałów wykładniczych mają inne sygnały jako sygnały elektroniczne.

Również cos i grzech nie są generalnie sygnałami. Jeżeli zastosowane jest cos (wt), a wynikiem jest A cos (wt + theta), wówczas nie można wyrazić tego wyniku jako stała razy wejściowy (z wyjątkiem gdy theta wynosi 0 lub pi lub A = 0), co jest warunkiem potrzebne, aby sygnał był sygnałem elektronicznym. Mogą istnieć warunki, w których cos i grzech są znakami cyfrowymi, ale są to przypadki szczególne, a nie ogólne.

CSR

CSR
źródło

Czy na pewno zrozumiałeś mój komentarz do swojej drugiej odpowiedzi? Chodzi o to, że dla prawdziwych systemów LTI oczekuje się, że będą miały prawdziwy sinus jako sygnał dźwiękowy. To nie znaczy, że wszystkie sinusy wszystkich częstotliwości są sygnałami elektronowymi. W szczególności podałem dokładny warunek, dla którego są takie, i wyjaśniłem, dlaczego ten warunek jest spełniony przez większość systemów LTI.

Jazzmaniac

Nie zapominaj też, że zredagowałeś swoją odpowiedź, aby nieco zmienić znaczenie. Krok od „Dla funkcji racjonalnego przeniesienia nie ma innych sygnałów elektronicznych” do „W przypadku układów arbitralnych nie ma żadnych ogólnych sygnałów własnych oprócz…” jest dość duży. Ujęcie tego w taki sposób, jakby ludzie nie zrozumieli poprawnie Twojej odpowiedzi, to trochę.

Jazzmaniac

0

Może niezmiennie przestrzennie wielowymiarowe obiekty, takie jak soczewki o symetrii kołowej. Nazywa się to rozszerzeniem Fouriera Bessela. Nie ma czasu T, ale utrzymują się relacje w dziedzinie częstotliwości splotu

źródło

Czy złożone wykładnicze są jedynymi funkcjami własnymi systemów LTI?

Odpowiedzi: