Jaki stosunek niezależnych dystrybucji daje rozkład normalny?

Stosunek dwóch niezależnych rozkładów normalnych daje rozkład Cauchy'ego. Rozkład t jest rozkładem normalnym podzielonym przez niezależny rozkład chi-kwadrat. Stosunek dwóch niezależnych rozkładów chi-kwadrat daje rozkład F.

Szukam współczynnika niezależnych ciągłych rozkładów, który daje normalnie rozłożoną zmienną losową o średniej i wariancji σ 2 ?$\mu$$\sigma^2$

Prawdopodobnie istnieje nieskończony zestaw możliwych odpowiedzi. Czy możesz podać mi niektóre z tych możliwych odpowiedzi? Byłbym szczególnie wdzięczny, gdyby dwa niezależne rozkłady, których stosunek jest obliczany, są takie same lub przynajmniej mają podobną wariancję.

Niech gdzieEma rozkład wykładniczy ze średnią2σ2iZ=±1z jednakowym prawdopodobieństwem. NiechY2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ gdzieB∼Beta(0,5,0,5). Zakładając, że(Z,E,B)są wzajemnie niezależne, wówczasY1jest niezależne odY2iY1/Y2∼Normalne(0,σ2). Stąd mamy$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. niezależne od Y 2 ;$Y_1$$Y_2$
2. Oba ciągłe; takie, że
3. .$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Nie wymyśliłem, jak uzyskać . Trudniej jest zrozumieć, jak to zrobić, ponieważ problem sprowadza się do znalezienia A i B, które są niezależne od A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$ , który jest trochę trudniejsze niż wykonywanieA/B~Normalny(0,1)dla niezależnegoAiB.

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Byłbym szczególnie wdzięczny, gdyby dwa niezależne rozkłady, których stosunek jest obliczany, są takie same 

Jest ma możliwość, że normalna zmienna może być zapisane jako stosunek dwóch zmiennych niezależnych z tego samego rozkładu lub rodziny rozprowadzania (takich jak F-rozprowadzający, który jest stosunkiem dwóch skalowane $\chi^2$ zmiennych o rozkładzie lub Cauchy- rozprowadzający, który jest stosunek dwóch normalnych zmiennych rozkładowych ze średnią zerową).

• Załóżmy, że: dla dowolnej $A, B \sim F$ gdzie $F$ jest tą samą dystrybucją lub rodziną dystrybucji, mamy

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Musimy także być w stanie odwrócić $A$ i $B$ (jeśli zmienna normalna może być zapisana jako stosunek dwóch niezależnych zmiennych o tym samym rozkładzie lub rodzinie rozkładów, wówczas kolejność można odwrócić)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Ale jeśli $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ to $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ nie może być prawdziwe (odwrotność normalnej zmiennej rozproszonej nie jest inną normalną zmienną rozkładową).

---

Szerszy wniosek: jeśli zmienne w dowolnej rodzinie rozkładów $\mathcal{F}_X$ można zapisać jako stosunek zmiennych w innej rodzinie rozkładów $\mathcal{F}_Y$ to musi być tak, że rodzina $\mathcal{F}_X$ jest zamknięta przyjmując odwrotność (tj. Dla każdej zmiennej, której rozkład jest w $\mathcal{F}_X$ rozkład jego wzajemności będzie również wyrażony w $\mathcal{F}_X$ ).

Np. Odwrotność zmiennej rozproszonej Cauchy'ego jest również rozproszona Cauchy'ego. Odwrotność zmiennej rozproszonej F. jest również rozproszona F.

• To „jeśli” nie jest „iff”, odwrotność nie jest prawdą. Gdy $X$ i $1/X$ należą do tej samej rodziny rozkładów, nie zawsze może być możliwe zapisanie jako rozkład stosunku z mianownikiem i mianownikiem z tej samej rodziny rozkładów.

  Przeciwprzykład: możemy sobie wyobrazić rodziny dystrybucji, dla których dla dowolnego $X$ w rodzinie mamy $1/X$ w tej samej rodzinie, ale nie mamy $P(X=1)=0$ . Jest to sprzeczne z faktem, że dla rozkładu stosunku, w którym mianownik i mianownik mają ten sam rozkład, musimy mieć $P(X=1) \neq 0$ (i coś podobnego można wyrazić dla ciągłych rozkładów, takich jak całka wzdłuż linii X / Y = 1 na wykresie rozrzutu X, Y ma pewną niezerową gęstość, gdy X i Y mają ten sam rozkład i są niezależne).

Cóż, tutaj jest jeden, ale go nie udowodnię, pokaż tylko w symulacji.

Dokonać dwóch rozkładów beta z równym dużej parametry kształtu (w tym przypadku n = 40 , 000 ), odejmowanie od 1/2 x -values jednego z nich i nazywają to „licznik”. To daje nam plik PDF, który ma zakres od maksymalnej ( - $\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$, ale ponieważ parametry kształtu są tak duże, nigdy nie osiągamy maksymalnych wartości zakresu. O to histogramn=40,000„licznik” $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

Następnie nazywamy drugi mianownik dystrybucji beta „od mianownikiem” bez odejmowania czegokolwiek, więc ma on zwykły zakres dystrybucji beta i jeden z nich wygląda następująco$(0,1)$

Ponownie, ponieważ kształty są tak duże, nie zbliżamy się do maksymalnego zakresu wartości. Następnie narysujemy licznik ilorazowy w formacie PDF z nałożonym rozkładem normalnym.$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Teraz w tym przypadku wynik rozkładu normalnego ma i testy normalności, które wyglądają tak$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

Innymi słowy, nie możemy udowodnić, że stosunek nie jest normalny, nawet bardzo się starając.

Teraz dlaczego? Intuicja z mojej strony, którą mam w nadmiarze. Dowód pozostawiony czytelnikowi, jeśli taki istnieje (może przez limit metody chwil, ale znowu to tylko intuicja).

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$