Rzucam sprawiedliwą kostką. Ilekroć dostaję 1, 2 lub 3, zapisuję „1”; za każdym razem, gdy dostaję 4, zapisuję „2”; za każdym razem, gdy dostaję 5 lub 6, zapisuję „3”.
Niech będzie całkowitą liczbą rzutów, których potrzebuję, aby iloczyn wszystkich zapisanych przeze mnie liczb wynosił \ geq 100000 . Chcę obliczyć (lub w przybliżeniu) \ P (N \ geq 25) , a przybliżenie można podać jako funkcję rozkładu normalnego.≥ 100000 P ( N ≥ 25 )
Po pierwsze wiem, że ponieważ . A teraz, niech , i będą liczbą zapisanych odpowiednio 1, 2 i 3. Następnie:
Co chcę obliczyć to:
Jak to obliczyć?
--EDYTOWAĆ:
Zasugerowano więc, że mogę zastąpić warunek:
gdzie , , , a .
To wygląda bardziej rozwiązalne! Niestety nie mam pojęcia, jak to rozwiązać.
probability
normal-distribution
conditional-probability
multinomial
distributions
Pedro Carvalho
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Niniejsze pytanie jest szczególnym przypadkiem, w którym mamy do czynienia z wielkością, która jest funkcją liniową wielomianowej zmiennej losowej. Możliwe jest dokładne rozwiązanie problemu poprzez wyliczenie kombinacji wielomianowych, które spełniają wymaganą nierówność, i zsumowanie rozkładu w tym zakresie. W przypadku, gdy jest duży, może to stać się niewykonalne obliczeniowo. W takim przypadku możliwe jest uzyskanie przybliżonego rozkładu przy użyciu normalnego przybliżenia do wielomianu. Uogólniona wersja tego przybliżenia jest pokazana poniżej, a następnie jest stosowana do konkretnego przykładu.N
Ogólny problem aproksymacyjny: Załóżmy, że mamy ciąg wymiennych zmiennych losowych o zakresie . Dla dowolnego możemy utworzyć wektor liczenia , który liczy liczbę wystąpienia każdego wyniku w pierwszych wartościach sekwencji. Ponieważ sekwencja leżąca u podstaw jest wymienna, wektor zliczania jest dystrybuowany jako:n ∈ N X ≡ X ( n ) ≡ ( X 1 , X 2 , . . . , X m ) N1,2,...,m n∈N X≡X(n)≡(X1,X2,...,Xm) n
Załóżmy teraz, że mamy jakiś wektor nieujemnych wag i używamy tych wag do zdefiniowania funkcji liniowej:w=(w1,w2,...,wm)
Ponieważ wagi nie są ujemne, ta nowa ilość nie zmniejsza się w . Następnie definiujemy liczbę , która jest najmniejszą liczbę obserwacji wymagane do uzyskania określonej minimalnej wartości naszym funkcją liniową. Chcemy aproksymować rozkład w przypadku, gdy ta wartość jest (stochastycznie) duża.N ( a ) ≡ min { n ∈ N | A ( n ) ⩾ a } N ( a )n N(a)≡min{n∈N|A(n)⩾a} N(a)
Rozwiązywanie ogólnego problemu aproksymacji: Po pierwsze, zauważamy, że ponieważ nie zmniejsza się w (co jest ważne, ponieważ przyjęliśmy, że wszystkie wagi są nieujemne), mamy:nA(n) n
W związku z tym, rozmieszczenie jest bezpośrednio związane z podziałem . Zakładając, że pierwsza wielkość jest duża, możemy w przybliżeniu rozmieścić tę drugą, zastępując dyskretny losowy wektor ciągłym przybliżeniem z wielowymiarowego rozkładu normalnego. Prowadzi to do normalnego przybliżenia kwantyfikacji liniowej i możemy bezpośrednio obliczyć momenty tej wielkości. W tym celu wykorzystujemy fakt, że , i dla . W przypadku podstawowej algebry daje to nam:A X A ( n ) E ( X i ) = n θ i V ( X i ) = n θ i ( 1 - θ i ) C ( X i , X j ) = - n θ i θ j i ≠ jN A X A(n) E(Xi)=nθi V(Xi)=nθi(1−θi) C(Xi,Xj)=−nθiθj i≠j
Przyjęcie normalnego przybliżenia do wielomianu daje nam teraz przybliżony rozkład . Zastosowanie tego przybliżenia daje:A(n) ~ N(nμ,nμ(1−μ))
(Symbol jest standardowym oznaczeniem standardowej funkcji rozkładu normalnego.) Można zastosować to przybliżenie, aby znaleźć prawdopodobieństwa dotyczące wielkości dla określonej wartości . Jest to podstawowe przybliżenie, które nie próbowało uwzględnić korekty ciągłości wartości leżących u podstaw wartości liczby wielomianowej. Uzyskuje się to przez przyjęcie normalnego przybliżenia przy użyciu tych samych pierwszych dwóch centralnych momentów, co dokładna funkcja liniowa.N ( a ) aΦ N.( ) za
Zastosowanie do twojego problemu: W twoim problemie masz prawdopodobieństwa , wagi , a wartość odcięcia . Masz zatem (zaokrąglając do sześciu miejsc po przecinku) . Stosując powyższe przybliżenie mamy (zaokrąglając do sześciu miejsc po przecinku):w=(0,ln2,ln3)a=ln100000μ=1θ = ( 12), 16, 13)) w=(0,ln2,ln3) a=ln100000 μ=16ln2+13ln3=0.481729
Stosując dokładny rozkład wielomianowy, sumując wszystkie kombinacje spełniające wymaganie , można wykazać, że dokładny wynik to . Stąd widzimy, że przybliżenie jest dość zbliżone do dokładnej odpowiedzi w niniejszej sprawie.P(A(24)<a) P(N(a)⩾25)=0.483500
Mam nadzieję, że ta odpowiedź daje odpowiedź na konkretne pytanie, jednocześnie umieszczając ją w bardziej ogólnych ramach wyników probabilistycznych, które dotyczą funkcji liniowych wielomianowych wektorów losowych. Niniejsza metoda powinna pozwolić na uzyskanie przybliżonych rozwiązań problemów ogólnego rodzaju, z którymi się mierzysz, umożliwiając zróżnicowanie konkretnych liczb w twoim przykładzie.
źródło
Zróbmy normalne przybliżenie.
Najpierw przepiszmy całkowicie twój problem w logach. Zaczynasz od 0 w czasie t = 0. Następnie na każdym kroku dodajesz:
0 z prawdopodobieństwem 1/2
Zatrzymujesz ten proces, gdy twoja suma przekroczy w którym momencie patrzysz, ile wykonałeś rzutów. Liczba rzutów, które zajęło ci dotarcie do tego punktu, to ^log(105) N
Mój kalkulator mówi mi, że średnia twoich przyrostów wynosi:≈0.48 a wariancja wynosi . Dla porównania punkt końcowy to więc dotrzemy do niego w około 24 krokach≈0.25 ≈11.51
Zależnie od tego, że wykonaliśmy 25 kroków, rozkład sumy jest w przybliżeniu gaussowskim wyśrodkowanym na 12,0 i z wariancją 6,25. To daje nam przybliżone Gaussowskie przybliżeniep(N≥25)≈0.5
Trzeba spojrzeć na kumulanty sumy przy N = 25, aby wiedzieć, czy przybliżenie Gaussa jest w porządku. Biorąc pod uwagę, że przyrosty nie są symetryczne, wartość przybliżona może nie być najlepsza
źródło