Jednostronna nierówność Czebyszewa na wyższy moment

12

Czy istnieje analogia do wyższego momentu nierówności Czebyszewa w jednostronnym przypadku?

Wydaje się, że nierówność Czebyszewa-Cantellego działa tylko na wariancję, podczas gdy nierówność Czebyszewa można łatwo uzyskać dla wszystkich wykładników.

Czy ktoś wie o jednostronnej nierówności przy użyciu wyższych momentów?

Andreas Mueller
źródło

Odpowiedzi:

20

Dla wygody niech oznacza ciągłą zmienną losową o zerowej średniej z funkcją gęstości i rozważmy gdzie . Mamy gdzie . Jeśli jest parzystą liczbą całkowitą, a dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, to a więc Xf(x)P{Xa}a>0

P{Xa}=af(x)dx=g(x)f(x)dx=E[g(X)]
g(x)=1[a,)nb
h(x)=(x+ba+b)ng(x),<x<,
E[h(X)]=h(x)f(x)dxg(x)f(x)dx=E[g(X)].
Mamy więc, że dla dodatnich liczb rzeczywistych i , gdzie oczekiwanie na prawo w jest momentem ( parzystym) z około . Gdy , najmniejszą górną granicę na uzyskuje się, gdy daje jednostronną nierówność Czebyszewa (lub nierówność Czebyszewa-Cantellego): Dla większych wartości , minimalizacja względemab(1)nnX-bn=2P{Xa}b=σ2/aP{Xa}σ2
(1)P{Xa}E[(X+ba+b)n]=(a+b)nE[(X+b)n]
(1)nnXbn=2P{Xa}b=σ2/anb
P{Xa}σ2a2+σ2.
nb jest bardziej chaotyczny.
Dilip Sarwate
źródło