Zazwyczaj, gdy pobiera się losowe średnie próbki rozkładu (przy wielkości próbki większej niż 30), uzyskuje się rozkład normalny ześrodkowywany wokół wartości średniej. Słyszałem jednak, że rozkład Cauchy'ego nie ma żadnej wartości średniej. Jaki rozkład uzyskuje się wtedy, gdy uzyskuje się przykładowe środki rozkładu Cauchy'ego?
Zasadniczo dla rozkładu Cauchy jest niezdefiniowany, więc co to jest i jaka jest dystrybucja ?
Odpowiedzi:
GdybyX1, ... ,Xn są iid Cauchy( 0 , 1 ) wtedy możemy to pokazać X¯ jest także Cauchy( 0 , 1 ) za pomocą charakterystycznego argumentu funkcji:
która jest charakterystyczną funkcją standardowego rozkładu Cauchy'ego. Dowód na bardziej ogólne Cauchy( μ , σ) obudowa jest w zasadzie identyczna.
źródło
Nie dokładnie. Zastanawiasz się nad centralnym twierdzeniem o granicy, które stwierdza, że podano sekwencjęXn zmiennych losowych IID o wariancji skończonej (co samo w sobie implikuje skończoną średnią μ ), wyrażenie zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego, gdy idzie w nieskończoność. Nie ma gwarancji, że średnia próbki dowolnego skończonego podzbioru zmiennych będzie normalnie rozłożona.n--√[ (X1+X2)+ ⋯ +Xn) / n - μ ] n
Jak powiedział GeoMatt22, przykładowe środki będą same dystrybuowane przez Cauchy'ego. Innymi słowy, rozkład Cauchy'ego jest rozkładem stabilnym .
Zauważ, że centralne twierdzenie graniczne nie dotyczy zmiennych losowych rozkładanych przez Cauchy'ego, ponieważ nie mają one skończonej średniej i wariancji.
źródło