CES: Funkcja produkcji: Elastyczność substytucji

Muszę to udowodnić $\sigma = 1/(1 + \rho)$ dla funkcji produkcji CES:

$$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$$

Odkryłem, że muszę rozwiązać następujące równanie:

$$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$$

Ale po prostu nie wiem, jak przepisać to wyrażenie na $\sigma = 1/(1 + \rho)$

Funkcja produkcyjna to:

$$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$$ MPL i MPK to odpowiednio: $$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$$ $$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$$ Jaką szybkość l można zastąpić k?

Gdzie $f$ jest różnicowalną funkcją wartości rzeczywistej pojedynczej zmiennej, definiujemy elastyczność f (x) względem x (w punkcie x), który ma być

$$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$$

1. Dokonaj zmiany takich zmiennych $u = ln(x)$ ($\rightarrow x = e^u$) i $v=ln(f(x))$ ($\rightarrow f(x) = e^v$)
2. Zauważ, że $v' = f'(x) / f(x)$ i $u'=\frac{1}{x}$ po to aby $$\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$$
3. Zauważ, że jest to również wynik, który rozwiązujesz $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ ponieważ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ które rozwiązujemy za pomocą reguły łańcucha: $$\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$$ która jest dokładnie taką definicją $\sigma(x)$.

Teraz rozwiążmy twój problem z elastycznością.

$$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$$ $$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$$

Więc $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

Chciałbym dodać trochę do powyższej odpowiedzi. Wcześniej napisałem komentarz, ale pomyślałem, że lepiej będzie trochę rozwinąć argument.

Mamy firmę, która wykorzystuje dwa czynniki produkcji, robociznę $l$ i kapitał $k$, w celu uzyskania produkcji. Ilość produkcji jest zapisywana$q$.

Elastyczność funkcji pojedynczej zmiennej mierzy procentową odpowiedź zmiennej zależnej na procentową zmianę zmiennej niezależnej.

Z drugiej strony, elastyczność substytucji między dwoma wejściami czynników mierzy procentową odpowiedź stosunku ich ilości do procentowej zmiany względnych produktów krańcowych.

W związku z powyższym mamy do czynienia z tą elastycznością

$$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$$

gdzie $MPL$ jest krańcowym produktem pracy i $MPK$ jest krańcowym produktem kapitału.

Piszę to dlatego, że w powyższej odpowiedzi jest mały błąd. W równaniu zaraz po „Teraz rozwiążmy twój problem z elastycznością”$\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ natychmiast następuje wyrażenie dla $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ przełączanie licznika za pomocą mianownika.

Jeśli to naprawisz, otrzymasz to $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$, co jest bliskie, ale nie całkiem poprawne. Aby uzyskać poprawną odpowiedź, wykonaj dokładnie te same obliczenia, które podano w powyższej odpowiedzi

$$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$$

żeby to zdobyć $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$, w których korekty podano z powodów opisanych powyżej.