Interpretacja stosunku dwóch wariancji w bayesowskim problemie decyzyjnym

Biorąc pod uwagę normalny poprzedni ze średnią i wariancję σ 2 0 oraz normalne prawdopodobieństwo ze znaną wariancją σ 2 , tylny Bayesa, po zaobserwowaniu n iid sygnałów x 1 , … , x n , jest również rozkładem normalnym ze średnią ( μ $\mu_0$$\sigma_0^2$$\sigma^2$$n$$x_1,\dots,x_n$ i wariancja (

$$\left(\frac{\mu_0}{\sigma_0^2}+\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\sigma^2}\right) \left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{n}{\sigma^2}\right)^{-1}$$ Zobaczhttps://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior#Continuous_distribution. $$\left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{n}{\sigma^2}\right)^{-1}.$$

Pratt, Raiffa i Schlaifer (2008) sugerują, że moglibyśmy zdefiniować aby średnią tylną i wariancję można zapisać jako n′μ0+∑ n i = 1 x

$$n'=\frac{\sigma^2}{\sigma_0^2}$$ $$\frac{n'\mu_0+\sum_{i=1}^nx_i}{n'+n}\quad\text{and}\quad\frac{\sigma^2}{n'+n}.$$

Mówią, że

Parametr można zatem interpretować jako „fikcyjną wielkość próby” lub równoważną liczbę obserwacji próbki, która opisuje ilość informacji ukrytych w poprzednim rozkładzie.$n'$

$n'$

$n'$$n'$

$\sigma^2_0 \downarrow \implies n' \uparrow \implies \text{Posterior Variance} \downarrow$

$N \equiv n' + n$

$$\text {Posterior Mean} = \frac{n'\mu_0 +\sum_{i=1}^nx_i}{n'+n} = \frac{n'}{N}\mu_0 + \frac{n}{N}\bar x$$

$n'$$n'$$n$