Jakie są względne zalety korzystania z Adamsa-Moultona w porównaniu z algorytmem Adamsa-Bashfortha?

14

Rozwiązuję układ dwóch sprzężonych PDE w dwóch wymiarach przestrzennych iw czasie obliczeniowo. Ponieważ oceny funkcji są drogie, chciałbym zastosować metodę wieloetapową (zainicjowaną przy użyciu Runge-Kutta 4-5).

Metoda Adamsa-Bashfortha wykorzystująca pięć poprzednich ocen funkcji ma błąd globalny (jest to przypadek, gdy s = 5 w artykule w Wikipedii, do którego odwołuje się poniżej), i wymaga jednej oceny funkcji (na PDE) na krok.O(h5)s=5

Z drugiej strony metoda Adamsa-Moultona wymaga dwóch ocen funkcji na krok: jednej dla kroku predykcji, a drugiej dla kroku korektora. Ponownie, jeśli zastosowano pięć ocen funkcji, błąd globalny wynosi . ( s = 4 w artykule z Wikipedii)O(h5)s=4

Jakie jest więc uzasadnienie używania Adamsa-Moultona zamiast Adamsa-Bashfortha? Ma błąd tego samego rzędu, dla dwukrotności oceny funkcji. Intuicyjnie ma sens, że metoda predykcyjno-korektorowa powinna być korzystna, ale czy ktoś może to wyjaśnić ilościowo?

Odniesienie: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

SimonSciComp
źródło
To pytanie jest złe . Odwołujesz się do Adamsa-Moultona, który jest metodą całkowicie niejawną, ale następnie omawiasz faktyczne użycie metody predykcyjno-korektorowej. One nie są tym samym w ogóle .
David Ketcheson
@David Metoda Adamsa-Moultona, do której się odnoszę (czasem nazywana Adams-Bashforth-Moulton) jest metodą predykcyjno-korektorową. Etap predykcyjny wykonuje się za pomocą Adamsa-Bashfortha. Wynik prognozy jest następnie wykorzystywany w kroku Adamsa-Moultona, na przykład w celu wyjaśnienia. Mogę podać więcej szczegółów, jeśli nie jest to jasne.
SimonSciComp
To zrozumiałe. Ale nie to rozumie Adams-Moulton. Musisz użyć poprawnych nazw.
David Ketcheson

Odpowiedzi:

12

Metoda Adamsa-Moultona jest znacznie bardziej stabilna. Analogia zastosowana, kiedy nauczono mnie różnicy, jest taka sama jak ekstrapolacja i interpolacja. Interpolacja jest względnie bezpieczna numerycznie. Ekstrapolacja może wybuchnąć, jeśli zdarzy ci się mieć asymptotę lub inną dziwną cechę.

Na przykład rozwiązanie ody

z y ( 0 ) = 1y(t)=-y(t)y(0)=1

zastosowanie metody Adamsa-Bashfortha trzeciego rzędu staje się bardziej niestabilne w miarę zmniejszania czasu. Dodając krok korektora, unikniesz znacznej części tej niestabilności. Pokazano tutaj wykres regionów stabilności dla dwóch metod:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

λhλλh

Godric Seer
źródło
λh
@SimonSciComp Dodałem trochę więcej wyjaśnień poniżej fabuły. Daj mi znać, jeśli coś jeszcze jest niejasne.
Godric Seer,
λh(λh)<0
1
λ