Zastosowanie warunków brzegowych Dirichleta do równania Poissona metodą objętości skończonej

Chciałbym wiedzieć, w jaki sposób warunki Dirichleta są normalnie stosowane przy użyciu metody objętości skończonej na niejednorodnej siatce zorientowanej na komórki,

Moja obecna implementacja po prostu narzuca warunek brzegowy, że ustalam wartość pierwszej komórki,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

gdzie jest zmienna w roztworze i g D ( x L ) jest Dirichlet granica wartości stanu na LHS domeny ( NB x L ≡ x 1 / 2 ). Jest to jednak niepoprawne, ponieważ warunek brzegowy powinien naprawić wartość powierzchni czołowej komórki, a nie wartość samej komórki . To, co powinienem naprawdę zastosować, to$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Na przykład rozwiązajmy równanie Poissona,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

z warunkiem początkowym i warunkami brzegowymi,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(gdzie to warunek brzegowy Neumanna po prawej stronie).$g_N(x_R)$

Zwróć uwagę, w jaki sposób rozwiązanie numeryczne ustawiło wartość zmiennej komórkowej na wartość warunku brzegowego ( ) po lewej stronie. Ma to wpływ na przesunięcie całego rozwiązania w górę. Efekt można zminimalizować za pomocą dużej liczby punktów siatki, ale nie jest to dobre rozwiązanie problemu.$g_D(x_L)=0$

Pytanie

W jaki sposób stosowane są warunki brzegowe Dirichleta przy zastosowaniu metody objętości skończonej? Sądzę muszę ustalić wartość przez interpolację lub ekstrapolację pomocą φ 0 (punkt widmo) lub φ 2 tak, że linia prosta przechodzi przez te punkty posiada pożądaną wartość przy x L . Czy możesz podać jakieś wskazówki lub przykład, jak to zrobić w przypadku niejednorodnej siatki wyśrodkowanej na komórkach?$\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

Aktualizacja

Oto moja próba zastosowania zaproponowanego przez ciebie podejścia do komórki-widma, czy to wygląda rozsądnie?

Równanie dla komórki jest (gdzie F reprezentuje strumień ϕ ),$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Jednak dzięki temu podejściu udało się odzyskać definicję niestabilną, więc nie jestem pewien, jak postępować? Czy źle zinterpretowałem twoją radę (@Jan)? Dziwne jest to, że wydaje się, że działa, patrz poniżej,

Zobacz poniżej, to działa,

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Grossmann & Roos dla siatek wykazał stabilność i zbieżność (pierwszego rzędu w dyskretnej normie maksymalnej) dla problemu Poissona z wyraźnymi komórkami granicznymi z ich „środkami” na rzeczywistej granicy, jak pokazano na moim rysunku dla przypadku 1D.

Tutaj iloraz różnicowy interfejsu jest przybliżany w prosty sposób.

Powiedziałbym, że komórki duchów są powszechnym podejściem z dwóch powodów.

• Naśladują one stabilną sytuację opisaną na moim rysunku, ale z interpolowanym warunkiem brzegowym
• Są po prostu przywiązani do fizycznej granicy. Można zatem zastosować triangulację domeny, co jest również korzystne, ponieważ często ma się także naturalne BC, które są bezpośrednio nałożone na interfejs [ Grossmann & Roos , str. 101].

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Odkrywasz tutaj, dlaczego objętości skończone nie są często używane w równaniach eliptycznych, dla których stawia się warunki Dirichleta. Stosuje się je w przepisach dotyczących ochrony przyrody, w których bardziej naturalne warunki są określone w odniesieniu do topników.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Oczywiście jedną rzeczą, którą należy sprawdzić, jest stabilność dyskretyzacji z przybliżeniem drugiego rzędu na granicy. Z czubka głowy nie wiem, czy będzie stabilny w połączeniu z wyśrodkowanym przybliżeniem drugiego rzędu we wnętrzu. Analiza stabilności macierzy na pewno ci powie. (Jestem prawie pewien, że przybliżenie pierwszego rzędu na granicy będzie stabilne).

Wspominasz o możliwości wykorzystania punktów duchów. Prowadzi to do problemu, który musisz ekstrapolować z wnętrza do punktu duchów i użyć w tym procesie bc. Podejrzewam, ale nie „udowodniłem”, że przynajmniej niektóre zabiegi z użyciem punktów duchów są równoważne z zastosowaniem podejścia, które opisałem powyżej.

Mam nadzieję, że to trochę pomoże.