-konwergencja metody elementów skończonych, gdy prawa strona jest tylko w

9

Wiem, że częściowe przybliżenie liniowe elementu skończonego z spełnia pod warunkiem, że U jest wystarczająco gładki i f \ w L ^ 2 (U) .uh

Δu(x)=fa(x)Uu(x)=0na U
u-uhH.01(U)dohfaL.2)(U)
UfaL.2)(U)

Pytanie: Jeśli , czy mamy następujące analogiczne oszacowanie, w którym jedna pochodna jest odbierana po obu stronach: faH.-1(U)L.2)(U)

u-uhL.2)(U)dohfaH.-1(U)?

Czy możesz podać referencje?

Myśli: Ponieważ wciąż mamy , powinno być możliwe uzyskanie zbieżności w . Intuicyjnie powinno to być możliwe nawet przy częściowych stałych funkcjach.uH.01(U)L.2)(U)

Bananach
źródło
Myślę, że otrzymujesz ze standardowej sztuczki Nitsche nawet dla . Można to znaleźć np. W Braess - Elementy skończone. u-uh0dohu-uh1uH.1
knl

Odpowiedzi:

12

Tak , jest to standardowa sztuczka Aubin-Nitsche (lub dualność ). Chodzi o to, aby wykorzystać fakt, że jest własną podwójną spacją, aby zapisać -norm jako normę operatora Musimy zatem oszacować dla dowolnego . Aby to zrobić, „podnosimy” do , rozważając najpierw dla arbitralnego rozwiązanie podwójnego problemu L.2)L.2)

uL.2)=łykϕL.2){0}(u,ϕ)ϕL.2).
(u-uh,ϕ)ϕL.2)u-uhH.01ϕL.2)wϕH.01
(1)(wϕ,v)=(ϕ,v)dla wszystkich vH.01.
Używając standardowej regularności równania Poissona, wiemy, że
wϕH.2)doϕL.2).

Wstawienie w i użycie ortogonalności Galerkina dla dowolnego elementu skończonego (w twoim przypadku, liniowo) funkcja daje oszacowanie Ponieważ dotyczy to wszystkich , nierówność jest nadal prawdziwa, jeśli weźmiemy za wszystkie częściowe liniowe . Dlatego otrzymujemy v=u-uhH.01(1)wh

(ϕ,u-uh)=(wϕ,(u-uh))=(wϕ-wh,(u-uh))dou-uhH.1wϕ-whH.1.
whwh
(2)u-uhL.2)=łykϕL.2){0}(u-uh,ϕ)ϕL.2)dou-uhH.1łykϕL.2){0}infwhwϕ-whH.1ϕL.2).
To jest Aubin-Nitsche-Lemma .

Następnym krokiem jest teraz użycie standardowych oszacowań błędów dla najlepszego przybliżenia elementu skończonego rozwiązań równania Poissona. Ponieważ jest tylko w , nie otrzymujemy lepszego oszacowania niż Ale na szczęście możemy wykorzystać fakt, że ma wyższą regularność od prawej strony zamiast . W tym przypadku mamy Wstawianie i douH.1

(3)u-uhH.1infvhu-vhH.1douH.1dofaH.-1.
wϕϕL.2)H.-1
(4)infwhwϕ-whH.1dohwϕH.2)dohϕL.2)
(3)(4)(2) daje teraz pożądaną wartość szacunkową.

(Zauważ, że standardowe szacunki wymagają, aby stopień wielomianu aproksymacji elementu skończonego i wykładnik Sobolewa rozwiązania rzeczywistego spełniały , więc ten argument nie działa dla aproksymacji stałej cząstkowej ( ). Użyliśmy również tego - tj., Że mamy zgodne przybliżenie - co nie jest prawdziwe w przypadku stałych cząstkowych.)kmm<k+1k=0u-uhH.01

Ponieważ poprosiłeś o referencję: Możesz znaleźć stwierdzenie (nawet dla ujemnych spacji Sobolewa zamiast ) w Twierdzeniu 5.8.3 (wraz z Twierdzeniem 5.4.8) wH.-sL.2)

Susanne C. Brenner i L. Ridgway Scott , MR 2373954 Matematyczna teoria metod elementów skończonych , Texts in Applied Mathematics ISBN: 978-0-387-75933-3.

Christian Clason
źródło
1
I mogę skorzystać z naszej nowej, błyszczącej funkcji cytowania :)
Christian Clason
Dzięki za odpowiedź, ale funkcje ciągłe nie są wbudowane w , prawda? H01
Bananach
Tak, przepraszam, pogładziłem się tam - są gęste, ale nie są osadzone. Argument dualności działa jednak tak samo (wystarczy pracować bezpośrednio z i ). Zmienię odpowiednio moją odpowiedź. H.01H.-1
Christian Clason
Dzięki za obszerną aktualizację. I za znalezienie kolejnego błyszczącego cytatu
Bananach
1
@Praveen Nie sądzę, że potrzebujesz tutaj żadnej teorii. wybrać aby było stałym zerem. vh
Bananach