-konwergencja metody elementów skończonych, gdy prawa strona jest tylko w

Wiem, że częściowe przybliżenie liniowe elementu skończonego z spełnia pod warunkiem, że jest wystarczająco gładki i . $u_h$

Δ u (x) = fa (x) w U u (x) = 0 na \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{{H.}_{0}^{1} (U)} \leq do h ‖ fa ‖_{{L.}^{2)} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Pytanie: Jeśli , czy mamy następujące analogiczne oszacowanie, w którym jedna pochodna jest odbierana po obu stronach: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ u - u_{h} ‖_{{L.}^{2)} (U)} \leq do h ‖ fa ‖_{{H.}^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

Czy możesz podać referencje?

Myśli: Ponieważ wciąż mamy , powinno być możliwe uzyskanie zbieżności w . Intuicyjnie powinno to być możliwe nawet przy częściowych stałych funkcjach. $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

finite-element pde reference-request convergence elliptic-pde Bananach
źródło

Myślę, że otrzymujesz ze standardowej sztuczki Nitsche nawet dla . Można to znaleźć np. W Braess - Elementy skończone.

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$

u \in H^{1}

$u \in H^1$

knl

Tak , jest to standardowa sztuczka Aubin-Nitsche (lub dualność ). Chodzi o to, aby wykorzystać fakt, że jest własną podwójną spacją, aby zapisać -norm jako normę operatora Musimy zatem oszacować dla dowolnego . Aby to zrobić, „podnosimy” do , rozważając najpierw dla arbitralnego rozwiązanie podwójnego problemu $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{{L.}^{2)}} = \underset{ϕ \in {L.}^{2)} ∖ {0}}{łyk} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{{L.}^{2)}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) dla wszystkich v \in {H.}_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Używając standardowej regularności równania Poissona, wiemy, że

‖ w_{ϕ} ‖_{{H.}^{2)}} \leq do ‖ ϕ ‖_{{L.}^{2)}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Wstawienie w i użycie ortogonalności Galerkina dla dowolnego elementu skończonego (w twoim przypadku, liniowo) funkcja daje oszacowanie Ponieważ dotyczy to wszystkich , nierówność jest nadal prawdziwa, jeśli weźmiemy za wszystkie częściowe liniowe . Dlatego otrzymujemy $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq do ‖ u - u_{h} ‖_{{H.}^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{{H.}^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{{L.}^{2)}} = \underset{ϕ \in {L.}^{2)} ∖ {0}}{łyk} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{{L.}^{2)}}} \leq do ‖ u - u_{h} ‖_{{H.}^{1}} \underset{ϕ \in {L.}^{2)} ∖ {0}}{łyk} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{{H.}^{1}}}{‖ ϕ ‖_{{L.}^{2)}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ To jest Aubin-Nitsche-Lemma .

Następnym krokiem jest teraz użycie standardowych oszacowań błędów dla najlepszego przybliżenia elementu skończonego rozwiązań równania Poissona. Ponieważ jest tylko w , nie otrzymujemy lepszego oszacowania niż Ale na szczęście możemy wykorzystać fakt, że ma wyższą regularność od prawej strony zamiast . W tym przypadku mamy Wstawianie i do $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{{H.}^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{{H.}^{1}} \leq do ‖ u ‖_{{H.}^{1}} \leq do ‖ fa ‖_{{H.}^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{{H.}^{1}} \leq do h ‖ w_{ϕ} ‖_{{H.}^{2)}} \leq do h ‖ ϕ ‖_{{L.}^{2)}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ daje teraz pożądaną wartość szacunkową.

(Zauważ, że standardowe szacunki wymagają, aby stopień wielomianu aproksymacji elementu skończonego i wykładnik Sobolewa rozwiązania rzeczywistego spełniały , więc ten argument nie działa dla aproksymacji stałej cząstkowej ( ). Użyliśmy również tego - tj., Że mamy zgodne przybliżenie - co nie jest prawdziwe w przypadku stałych cząstkowych.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Ponieważ poprosiłeś o referencję: Możesz znaleźć stwierdzenie (nawet dla ujemnych spacji Sobolewa zamiast ) w Twierdzeniu 5.8.3 (wraz z Twierdzeniem 5.4.8) w $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner i L. Ridgway Scott , MR 2373954 Matematyczna teoria metod elementów skończonych , Texts in Applied Mathematics ISBN: 978-0-387-75933-3.

Christian Clason
źródło

I mogę skorzystać z naszej nowej, błyszczącej funkcji cytowania :)

Christian Clason

Dzięki za odpowiedź, ale funkcje ciągłe nie są wbudowane w , prawda?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

Bananach

Tak, przepraszam, pogładziłem się tam - są gęste, ale nie są osadzone. Argument dualności działa jednak tak samo (wystarczy pracować bezpośrednio z i ). Zmienię odpowiednio moją odpowiedź.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

Christian Clason

Dzięki za obszerną aktualizację. I za znalezienie kolejnego błyszczącego cytatu

Bananach

@Praveen Nie sądzę, że potrzebujesz tutaj żadnej teorii. wybrać aby było stałym zerem.

v_{h}

$v_h$

Bananach

-konwergencja metody elementów skończonych, gdy prawa strona jest tylko w

Odpowiedzi: