Rozważ losową liczbę całkowitą rozpoczynającą się od 0 z następującymi warunkami:
Pierwszy krok to plus lub minus 1, z jednakowym prawdopodobieństwem.
Każdy przyszły krok to: 60% prawdopodobnie będzie w tym samym kierunku co poprzedni krok, 40% prawdopodobnie będzie w przeciwnym kierunku
Jaki rodzaj dystrybucji to daje?
Wiem, że losowy spacer bez pędu daje rozkład normalny. Czy pęd po prostu zmienia wariancję, czy całkowicie zmienia charakter rozkładu?
Szukam ogólnej odpowiedzi, więc o 60% i 40% powyżej, naprawdę mam na myśli p i 1-p
Odpowiedzi:
Aby od razu dojść do konkluzji, „pęd” nie zmienia faktu, że rozkład normalny jest asymptotycznym przybliżeniem rozkładu losowego marszu, ale wariancja zmienia się z na n p / ( 1 - p ) . Można to wywnioskować ze względnie elementarnych rozważań w tym szczególnym przypadku. Powiedzmy, że uogólnienie poniższych argumentów do CLT dla łańcuchów Markowa o skończonej przestrzeni stanów nie jest trudne, ale największym problemem jest w rzeczywistości obliczenie wariancji. W przypadku konkretnego problemu może to zrobić4np(1−p) np/(1−p) być obliczonym, i mam nadzieję, że poniższe argumenty mogą przekonać czytelnika, że jest to poprawna wariancja.
Korzystając z wglądu przedstawionego przez kardynała w komentarzu, losowy spacer podaje się jako gdzie X k ∈ { - 1 , 1 }, a X k tworzą łańcuch Markowa z macierzą prawdopodobieństwa przejścia ( p 1 - p 1 - p p ) . Dla rozważań asymptotycznych, gdy n → ∞ początkowy rozkład X 1 nie odgrywa żadnej roli, więc naprawmy
Aby obliczyć momenty należy zauważyć, że P ( τ 1 = 1 ) = p, a dla m ≥ 2 , P ( τ 1 = m ) = ( 1 - p ) 2 p m - 2 . Następnie można zastosować techniki podobne do stosowanych podczas obliczania momentów dla rozkładu geometrycznego. Alternatywnie, jeśli X jest geometryczne z prawdopodobieństwem sukcesu 1 - p, a Z =τ1 P(τ1=1)=p m≥2 P(τ1=m)=(1−p)2pm−2 X 1−p Z=1(τ1=1) 1+X(1−Z) τ1
źródło
Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelationρ . Translating this using ρ=2p−1 gives
edit: I had the wrong autocorrelation (or ratherp should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)
źródło